题目

设随机变量 X 的概率密度为 f(x) = } 2(1-x), & 0 < x < 1, 0, & (其他.) (X, Y) =A. -(1)/(36);B. -(1)/(72);C. (1)/(72);D. (1)/(36).

设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x) = \begin{cases} 2(1-x), & 0 < x < 1, \\ 0, & \text{其他.} \end{cases}$ 在 $X = x (0 < x < 1)$ 条件下, 随机变量 $Y$ 服从区间 $(x, 1)$ 上的均匀分布, 则 $\text{Cov}(X, Y) =$ A. $-\frac{1}{36}$; B. $-\frac{1}{72}$; C. $\frac{1}{72}$; D. $\frac{1}{36}$.

题目解答

答案

我们要求的是随机变量 $ X $ 和 $ Y $ 的协方差：

$\text{Cov}(X, Y) = \mathbb{E}[XY] - \mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]$

题目给出：

  • $ X $ 的概率密度函数为：
    $f_X(x) = \begin{cases} 2(1 - x), & 0 < x < 1, \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

  • 在 $ X = x $ 的条件下（其中 $ 0 < x < 1 $），$ Y $ 服从区间 $ (x, 1) $ 上的均匀分布，即：
    $Y \mid X = x \sim U(x, 1)$

我们将按步骤计算 $ \mathbb{E}[X] $、$ \mathbb{E}[Y] $、$ \mathbb{E}[XY] $，然后代入协方差公式。

第一步：计算 $ \mathbb{E}[X] $

$\mathbb{E}[X] = \int_0^1 x f_X(x) \, dx = \int_0^1 x \cdot 2(1 - x) \, dx = 2 \int_0^1 (x - x^2) \, dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$

第二步：计算 $ \mathbb{E}[Y] $

由于 $ Y $ 的分布依赖于 $ X $，我们使用全期望公式：

$\mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}[\mathbb{E}[Y \mid X]]$

在 $ X = x $ 时，$ Y \sim U(x, 1) $，其期望为：

$\mathbb{E}[Y \mid X = x] = \frac{x + 1}{2}$

所以：

$\mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}\left[ \frac{X + 1}{2} \right] = \frac{1}{2} \left( \mathbb{E}[X] + 1 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} + 1 \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$

第三步：计算 $ \mathbb{E}[XY] $

同样使用条件期望：

$\mathbb{E}[XY] = \mathbb{E}[\mathbb{E}[XY \mid X]] = \mathbb{E}[X \cdot \mathbb{E}[Y \mid X]]$

因为给定 $ X = x $，有 $ \mathbb{E}[Y \mid X = x] = \frac{x + 1}{2} $，所以：

$\mathbb{E}[XY \mid X = x] = x \cdot \mathbb{E}[Y \mid X = x] = x \cdot \frac{x + 1}{2} = \frac{x^2 + x}{2}$

因此：

$\mathbb{E}[XY] = \mathbb{E}\left[ \frac{X^2 + X}{2} \right] = \frac{1}{2} \left( \mathbb{E}[X^2] + \mathbb{E}[X] \right)$

我们已经知道 $ \mathbb{E}[X] = \frac{1}{3} $，现在计算 $ \mathbb{E}[X^2] $：

$\mathbb{E}[X^2] = \int_0^1 x^2 f_X(x) \, dx = \int_0^1 x^2 \cdot 2(1 - x) \, dx = 2 \int_0^1 (x^2 - x^3) \, dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = 2 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) = 2 \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{6}$

所以：

$\mathbb{E}[XY] = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

第四步：计算协方差

$\text{Cov}(X, Y) = \mathbb{E}[XY] - \mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y] = \frac{1}{4} - \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \right) = \frac{1}{4} - \frac{2}{9} = \frac{9}{36} - \frac{8}{36} = \frac{1}{36}$

答案：

$\boxed{\text{D. } \frac{1}{36}}$

✅ 最终答案：D. $ \frac{1}{36} $

解析

考查要点：本题主要考查协方差的计算，涉及条件分布和全期望公式的应用。关键在于正确计算条件期望$\mathbb{E}[Y \mid X]$和$\mathbb{E}[XY \mid X]$，并结合全期望公式求解。

解题思路：

  1. 计算$\mathbb{E}[X]$：直接对$X$的概率密度函数积分。
  2. 计算$\mathbb{E}[Y]$：利用全期望公式，先求$\mathbb{E}[Y \mid X]$，再对$X$求期望。
  3. 计算$\mathbb{E}[XY]$：通过条件期望分解为$\mathbb{E}[X \cdot \mathbb{E}[Y \mid X]]$，结合$X$的分布计算。
  4. 代入协方差公式：$\text{Cov}(X, Y) = \mathbb{E}[XY] - \mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]$。

破题关键：正确应用条件分布的均匀性，即$Y \mid X = x \sim U(x, 1)$，其期望为$\frac{x + 1}{2}$，并利用全期望公式将复合期望转化为对$X$的单重积分。

步骤1：计算$\mathbb{E}[X]$

$\mathbb{E}[X] = \int_0^1 x \cdot 2(1 - x) \, dx = 2 \int_0^1 (x - x^2) \, dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}$

步骤2：计算$\mathbb{E}[Y]$

在$X = x$条件下，$Y$的期望为$\frac{x + 1}{2}$，因此：
$\mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}\left[ \frac{X + 1}{2} \right] = \frac{1}{2} \left( \mathbb{E}[X] + 1 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} + 1 \right) = \frac{2}{3}$

步骤3：计算$\mathbb{E}[XY]$

利用条件期望：
$\mathbb{E}[XY] = \mathbb{E}\left[ X \cdot \frac{X + 1}{2} \right] = \frac{1}{2} \left( \mathbb{E}[X^2] + \mathbb{E}[X] \right)$
其中，$\mathbb{E}[X^2]$计算如下：
$\mathbb{E}[X^2] = \int_0^1 x^2 \cdot 2(1 - x) \, dx = 2 \int_0^1 (x^2 - x^3) \, dx = \frac{1}{6}$
代入得：
$\mathbb{E}[XY] = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{4}$

步骤4：计算协方差

$\text{Cov}(X, Y) = \mathbb{E}[XY] - \mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y] = \frac{1}{4} - \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \right) = \frac{1}{36}$