题目
求平面x+2y+3z=8被柱面x+2y+3z=8所割下部分的面积
求平面
被柱面
所割下部分的面积
题目解答
答案
由题意可得到积分区域
根据曲面积分的公式有
求出
：
两边同时对
求偏导得：
，解得
，同理求得
则
又有
就是区域的面积，则
综上平面被柱面所割下部分的面积为
解析
步骤 1：确定积分区域
由题意，柱面${x}^{2}+{y}^{2}=1$在xy平面上的投影区域为${D}_{xy}=\{ (x,y)|{x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1\} $，即单位圆。
步骤 2：计算曲面的面积元素
根据曲面积分的公式，曲面的面积元素为$S=\iint \sqrt {1+{(\dfrac {\partial z}{\partial x})}^{2}+{(\dfrac {\partial z}{\partial y})}^{2}}dxdy$。首先，需要求出$\dfrac {\partial z}{\partial x}$和$\dfrac {\partial z}{\partial y}$。
步骤 3：求偏导数
对平面方程x+2y+3z=8两边同时对x求偏导，得到$1+3\dfrac {\partial z}{\partial x}=0$，解得$\dfrac {\partial z}{\partial x}=-\dfrac {1}{3}$。同理，对y求偏导，得到$2+3\dfrac {\partial z}{\partial y}=0$，解得$\dfrac {\partial z}{\partial y}=-\dfrac {2}{3}$。
步骤 4：代入偏导数计算面积
将$\dfrac {\partial z}{\partial x}$和$\dfrac {\partial z}{\partial y}$代入面积元素公式，得到$S=\iint \sqrt {1+{(-\dfrac {1}{3})}^{2}+{(-\dfrac {2}{3})}^{2}}dxdy$。化简得$S=\dfrac {\sqrt {14}}{3}{\iint }_{{D}_{xy}}1dxdy$。
步骤 5：计算积分
由于${D}_{xy}$是单位圆，其面积为$\pi$，所以$S=\dfrac {\sqrt {14}}{3}\pi$。
由题意，柱面${x}^{2}+{y}^{2}=1$在xy平面上的投影区域为${D}_{xy}=\{ (x,y)|{x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1\} $，即单位圆。
步骤 2：计算曲面的面积元素
根据曲面积分的公式，曲面的面积元素为$S=\iint \sqrt {1+{(\dfrac {\partial z}{\partial x})}^{2}+{(\dfrac {\partial z}{\partial y})}^{2}}dxdy$。首先，需要求出$\dfrac {\partial z}{\partial x}$和$\dfrac {\partial z}{\partial y}$。
步骤 3：求偏导数
对平面方程x+2y+3z=8两边同时对x求偏导，得到$1+3\dfrac {\partial z}{\partial x}=0$，解得$\dfrac {\partial z}{\partial x}=-\dfrac {1}{3}$。同理，对y求偏导，得到$2+3\dfrac {\partial z}{\partial y}=0$，解得$\dfrac {\partial z}{\partial y}=-\dfrac {2}{3}$。
步骤 4：代入偏导数计算面积
将$\dfrac {\partial z}{\partial x}$和$\dfrac {\partial z}{\partial y}$代入面积元素公式，得到$S=\iint \sqrt {1+{(-\dfrac {1}{3})}^{2}+{(-\dfrac {2}{3})}^{2}}dxdy$。化简得$S=\dfrac {\sqrt {14}}{3}{\iint }_{{D}_{xy}}1dxdy$。
步骤 5：计算积分
由于${D}_{xy}$是单位圆，其面积为$\pi$，所以$S=\dfrac {\sqrt {14}}{3}\pi$。