题目
已知x_(1)[k]=-1,1,0,2,1,0,-1，x_(2)[k]=1,2,3,-1,-1,-1,-1，画出下列离散序列的波形。(1) y_(1)[k]=x_(1)[k]+x_(2)[k];(2) y_(2)[k]=x_(1)[k]x_(2)[k];(3) y_(3)[k]=x_(1)[2k]+x_(2)[3k];(4) y_(4)[k]=x_(1)[k+1]+x_(2)[-k];(5) y_(5)[k]=sum_(n=-infty)^kx_(1)[n];(6) y_(6)[k]=x_(2)[k]-x_(2)[k-1]。
已知$x_{1}[k]=\{-1,1,0,2,1,0,-1\}$，$x_{2}[k]=\{1,2,3,-1,-1,-1,-1\}$，画出下列离散序列的波形。
(1) $y_{1}[k]=x_{1}[k]+x_{2}[k]$;
(2) $y_{2}[k]=x_{1}[k]x_{2}[k]$;
(3) $y_{3}[k]=x_{1}[2k]+x_{2}[3k]$;
(4) $y_{4}[k]=x_{1}[k+1]+x_{2}[-k]$;
(5) $y_{5}[k]=\sum_{n=-\infty}^{k}x_{1}[n]$;
(6) $y_{6}[k]=x_{2}[k]-x_{2}[k-1]$。
题目解答
答案
（1）$y_1[k] = x_1[k] + x_2[k]$
波形：
```
k: 0 1 2 3 4 5 6
y1: 0 3 3 1 0 -1 -2
```
（2）$y_2[k] = x_1[k] \cdot x_2[k]$
波形：
```
k: 0 1 2 3 4 5 6
y2: -1 2 0 -2 -1 0 1
```
（3）$y_3[k] = x_1[2k] + x_2[3k]$
波形：
```
k: 0 1 2
y3: 0 -1 0
```
（4）$y_4[k] = x_1[k+1] + x_2[-k]$
波形：
```
k: -1 0
y4: 1 2
```
（5）$y_5[k] = \sum_{n=-\infty}^{k} x_1[n]$
波形：
```
k: 0 1 2 3 4 5 6
y5: -1 0 0 2 3 3 2
```
（6）$y_6[k] = x_2[k] - x_2[k-1]$
波形：
```
k: 1 2 3 4 5 6
y6: 1 1 -4 0 0 0
```
解析
本题主要考察离散序列的基本运算，包括加法、乘法、尺度变换、时移、累加和差分运算，解题思路是根据不同运算规则，结合已知的离散序列 $x_1[k]$ 和 $x_2[k]$ 来计算新的离散序列。
(1) 计算 $y_{1}[k]=x_{1}[k]+x_{2}[k]$
根据离散序列加法运算规则，对应时刻的序列值相加。
已知 $x_{1}[k]=\{-1,1,0,2,1,0,-1\}$，$x_{2}[k]=\{1,2,3,-1,-1,-1,-1\}$，则：
- 当 $k = 0$ 时，$y_1[0]=x_1[0]+x_2[0]=-1 + 1 = 0$；
- 当 $k = 1$ 时，$y_1[1]=x_1[1]+x_2[1]=1 + 2 = 3$；
- 当 $k = 2$ 时，$y_1[2]=x_1[2]+x_2[2]=0 + 3 = 3$；
- 当 $k = 3$ 时，$y_1[3]=x_1[3]+x_2[3]=2 + (-1) = 1$；
- 当 $k = 4$ 时，$y_1[4]=x_1[4]+x_2[4]=1 + (-1) = 0$；
- 当 $k = 5$ 时，$y_1[5]=x_1[5]+x_2[5]=0 + (-1) = -1$；
- 当 $k = 6$ 时，$y_1[6]=x_1[6]+x_2[6]=-1 + (-1) = -2$。
(2) 计算 $y_{2}[k]=x_{1}[k]x_{2}[k]$
根据离散序列乘法运算规则，对应时刻的序列值相乘。
- 当 $k = 0$ 时，$y_2[0]=x_1[0]x_2[0]=(-1)\times1 = -1$；
- 当 $k = 1$ 时，$y_2[1]=x_1[1]x_2[1]=1\times2 = 2$；
- 当 $k = 2$ 时，$y_2[2]=x_1[2]x_2[2]=0\times3 = 0$；
- 当 $k = 3$ 时，$y_2[3]=x_1[3]x_2[3]=2\times(-1) = -2$；
- 当 $k = 4$ 时，$y_2[4]=x_1[4]x_2[4]=1\times(-1) = -1$；
- 当 $k = 5$ 时，$y_2[5]=x_1[5]x_2[5]=0\times(-1) = 0$；
- 当 $k = 6$ 时，$y_2[6]=x_1[6]x_2[6]=(-1)\times(-1) = 1$。
(3) 计算 $y_{3}[k]=x_{1}[2k]+x_{2}[3k]$
- 当 $k = 0$ 时，$x_1[2\times0]=x_1[0]=-1$，$x_2[3\times0]=x_2[0]=1$，则 $y_3[0]=x_1[0]+x_2[0]=-1 + 1 = 0$；
- 当 $k = 1$ 时，$x_1[2\times1]=x_1[2]=0$，$x_2[3\times1]=x_2[3]=-1$，则 $y_3[1]=x_1[2]+x_2[3]=0 + (-1) = -1$；
- 当 $k = 2$ 时，$x_1[2\times2]=x_1[4]=1$，$x_2[3\times2]=x_2[6]=-1$，则 $y_3[2]=x_1[4]+x_2[6]=1 + (-1) = 0$。
(4) 计算 $y_{4}[k]=x_{1}[k+1]+x_{2}[-k]$
- 当 $k = -1$ 时，$x_1[-1 + 1]=x_1[0]=-1$，$x_2[-(-1)]=x_2[1]=2$，则 $y_4[-1]=x_1[0]+x_2[1]=-1 + 2 = 1$；
- 当 $k = 0$ 时，$x_1[0 + 1]=x_1[1]=1$，$x_2[-0]=x_2[0]=1$，则 $y_4[0]=x_1[1]+x_2[0]=1 + 1 = 2$。
(5) 计算 $y_{5}[k]=\sum_{n=-\infty}^{k}x_{1}[n]$
- 当 $k = 0$ 时，$y_5[0]=x_1[0]=-1$；
- 当 $k = 1$ 时，$y_5[1]=x_1[0]+x_1[1]=-1 + 1 = 0$；
- 当 $k = 2$ 时，$y_5[2]=x_1[0]+x_1[1]+x_1[2]=-1 + 1 + 0 = 0$；
- 当 $k = 3$ 时，$y_5[3]=x_1[0]+x_1[1]+x_1[2]+x_1[3]=-1 + 1 + 0 + 2 = 2$；
- 当 $k = 4$ 时，$y_5[4]=x_1[0]+x_1[1]+x_1[2]+x_1[3]+x_1[4]=-1 + 1 + 0 + 2 + 1 = 3$；
- 当 $k = 5$ 时，$y_5[5]=x_1[0]+x_1[1]+x_1[2]+x_1[3]+x_1[4]+x_1[5]=-1 + 1 + 0 + 2 + 1 + 0 = 3$；
- 当 $k = 6$ 时，$y_5[6]=x_1[0]+x_1[1]+x_1[2]+x_1[3]+x_1[4]+x_1[5]+x_1[6]=-1 + 1 + 0 + 2 + 1 + 0 + (-1) = 2$。
(6) 计算 $y_{6}[k]=x_{2}[k]-x_{2}[k-1]$
- 当 $k = 1$ 时，$y_6[1]=x_2[1]-x_2[0]=2 - 1 = 1$；
- 当 $k = 2$ 时，$y_6[2]=x_2[2]-x_2[1]=3 - 2 = 1$；
- 当 $k = 3$ 时，$y_6[3]=x_2[3]-x_2[2]=-1 - 3 = -4$；
- 当 $k = 4$ 时，$y_6[4]=x_2[4]-x_2[3]=-1 - (-1) = 0$；
- 当 $k = 5$ 时，$y_6[5]=x_2[5]-x_2[4]=-1 - (-1) = 0$；
- 当 $k = 6$ 时，$y_6[6]=x_2[6]-x_2[5]=-1 - (-1) = 0$。