求微分方程 y' - (1)/(x+3) y = (1)/(x+2) 的通解.
求微分方程 $y' - \frac{1}{x+3} y = \frac{1}{x+2}$ 的通解.
题目解答
答案
我们来求解一阶线性非齐次微分方程：
$y' - \frac{1}{x+3} y = \frac{1}{x+2}$
第一步：识别方程形式
这是一个一阶线性微分方程，形式为：
$y' + P(x) y = Q(x)$
其中：
- $ P(x) = -\frac{1}{x+3} $
- $ Q(x) = \frac{1}{x+2} $
第二步：求积分因子
积分因子为：
$\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int -\frac{1}{x+3} \, dx} = e^{-\ln|x+3|} = \frac{1}{x+3}$
第三步：两边乘以积分因子
将原方程两边同时乘以积分因子 $ \frac{1}{x+3} $：
$\frac{1}{x+3} y' - \frac{1}{(x+3)^2} y = \frac{1}{(x+2)(x+3)}$
左边是乘积的导数形式：
$\left( \frac{y}{x+3} \right)' = \frac{1}{(x+2)(x+3)}$
第四步：积分求通解
对两边积分：
$\frac{y}{x+3} = \int \frac{1}{(x+2)(x+3)} \, dx$
我们对右边的积分进行部分分式分解：
设：
$\frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+3}$
两边通分并比较分子：
$1 = A(x+3) + B(x+2)$
令 $ x = -3 $，得：$ 1 = B(-1) \Rightarrow B = -1 $
令 $ x = -2 $，得：$ 1 = A(1) \Rightarrow A = 1 $
所以：
$\frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}$
积分得：
$\int \left( \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} \right) dx = \ln|x+2| - \ln|x+3| + C = \ln\left| \frac{x+2}{x+3} \right| + C$
第五步：代回原变量，得到通解
$\frac{y}{x+3} = \ln\left| \frac{x+2}{x+3} \right| + C$
两边乘以 $ x+3 $，得到通解：
$y = (x+3) \left( \ln\left| \frac{x+2}{x+3} \right| + C \right)$
✅ 最终答案：
$\boxed{y = (x+3) \left( \ln\left| \frac{x+2}{x+3} \right| + C \right)}$
其中 $ C $ 是任意常数。
解析
本题考查一阶线性非齐次微分方程的求解。解题思路是先识别方程形式，确定$P(x)$和$Q(x)$，然后求出积分因子$\mu(x)$，将原方程两边乘以积分因子，使左边变为乘积的导数形式，接着对两边进行积分，在积分过程中对右边的被积函数进行部分分式分解，最后代回原变量得到通解。
- 识别方程形式：
给定的微分方程$y' - \frac{1}{x + 3}y = \frac{1}{x + 2}$是一阶线性非齐次微分方程，其标准形式为$y' + P(x)y = Q(x)$。
对比可得$P(x)=-\frac{1}{x + 3}$，$Q(x)=\frac{1}{x + 2}$。 - 求积分因子：
根据积分因子公式$\mu(x)=e^{\int P(x)dx}$，将$P(x)=-\frac{1}{x + 3}$代入可得：
$\mu(x)=e^{\int -\frac{1}{x + 3}dx}$
令$u = x + 3$，则$du = dx$，那么$\int -\frac{1}{x + 3}dx=-\int \frac{1}{u}du=-\ln|u|=-\ln|x + 3|$。
所以$\mu(x)=e^{-\ln|x + 3|}=\frac{1}{x + 3}$。 - 两边乘以积分因子：
将原方程两边同时乘以积分因子$\frac{1}{x + 3}$，得到：
$\frac{1}{x + 3}y' - \frac{1}{(x + 3)^2}y = \frac{1}{(x + 2)(x + 3)}$
根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，这里$u=\frac{1}{x + 3}$，$v = y$，则$(\frac{y}{x + 3})^\prime=\frac{1}{x + 3}y' - \frac{1}{(x + 3)^2}y$，所以方程可化为$(\frac{y}{x + 3})^\prime = \frac{1}{(x + 2)(x + 3)}$。 - 积分求通解：
对$(\frac{y}{x + 3})^\prime = \frac{1}{(x + 2)(x + 3)}$两边积分，可得：
$\frac{y}{x + 3} = \int \frac{1}{(x + 2)(x + 3)}dx$
对$\frac{1}{(x + 2)(x + 3)}$进行部分分式分解，设$\frac{1}{(x + 2)(x + 3)} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 3}$。
两边通分得到$1 = A(x + 3) + B(x + 2)$。
令$x = -3$，则$1 = B(-3 + 2)$，解得$B = -1$。
令$x = -2$，则$1 = A(-2 + 3)$，解得$A = 1$。
所以$\frac{1}{(x + 2)(x + 3)} = \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3}$。
则$\int \frac{1}{(x + 2)(x + 3)}dx=\int (\frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3})dx$
根据积分公式$\int \frac{1}{u}du=\ln|u| + C$，可得：
$\int (\frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3})dx=\int \frac{1}{x + 2}dx - \int \frac{1}{x + 3}dx=\ln|x + 2| - \ln|x + 3| + C=\ln\left|\frac{x + 2}{x + 3}\right| + C$。 - 代回原变量，得到通解：
由$\frac{y}{x + 3} = \ln\left|\frac{x + 2}{x + 3}\right| + C$，两边乘以$x + 3$，得到通解：
$y = (x + 3)\left(\ln\left|\frac{x + 2}{x + 3}\right| + C\right)$