计算下列极限lim _(xarrow 0)((x+{e)^x)}^dfrac (2{x)}

考查要点：本题主要考查极限的运算技巧，特别是对常见极限形式的识别与应用。关键在于将复杂表达式转化为标准极限形式$\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = e$。

解题核心思路：

1. 分离主导项：将$x + e^x$拆分为$e^x \cdot \left(1 + \dfrac{x}{e^x}\right)$，使表达式呈现“1+小量”的结构。
2. 指数变形：通过调整指数，将问题转化为对常见极限形式的直接应用。
3. 极限分步计算：利用乘积的极限性质，分步计算各部分的极限值。

原题：计算极限$\lim_{x \to 0} (x + e^x)^{2/x}$。

步骤1：拆分表达式

将$x + e^x$改写为$e^x \cdot \left(1 + \dfrac{x}{e^x}\right)$：
$x + e^x = e^x \left(1 + \dfrac{x}{e^x}\right)$

步骤2：代入原极限

原极限变为：
$\lim_{x \to 0} \left[e^x \left(1 + \dfrac{x}{e^x}\right)\right]^{2/x} = \lim_{x \to 0} e^{2} \cdot \left(1 + \dfrac{x}{e^x}\right)^{2/x}$

步骤3：调整指数形式

将$\left(1 + \dfrac{x}{e^x}\right)^{2/x}$变形为：
$\left[\left(1 + \dfrac{x}{e^x}\right)^{\dfrac{e^x}{x}}\right]^{\dfrac{2}{e^x}}$

步骤4：应用常见极限

当$x \to 0$时，$\dfrac{e^x}{x} \to \infty$，因此：
$\lim_{x \to 0} \left(1 + \dfrac{x}{e^x}\right)^{\dfrac{e^x}{x}} = e$
进一步：
$\left[\lim_{x \to 0} \left(1 + \dfrac{x}{e^x}\right)^{\dfrac{e^x}{x}}\right]^{\dfrac{2}{e^x}} = e^{\dfrac{2}{e^0}} = e^{2}$

步骤5：合并结果

最终极限值为：
$$
e^{2} \cdot e^{2} = e^{4}

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