题目

1.13求定积分int_((1)/(sqrt(2)))^1(sqrt(1-x^2))/(x^2)dx=（）bigcirc(pi)/(4)bigcirc-(pi)/(4)bigcirc1-(pi)/(4)bigcirc1+(pi)/(4)

1.13 求定积分$\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1}\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x^{2}}dx=（）$ $\bigcirc\frac{\pi}{4}$ $\bigcirc-\frac{\pi}{4}$ $\bigcirc1-\frac{\pi}{4}$ $\bigcirc1+\frac{\pi}{4}$

题目解答

答案

令 $x = \sin \theta$，则 $dx = \cos \theta \, d\theta$，积分上下限变为 $\theta = \frac{\pi}{4}$ 到 $\theta = \frac{\pi}{2}$。代入原积分得： \[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} \, d\theta = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot^2 \theta \, d\theta. \] 利用恒等式 $\cot^2 \theta = \csc^2 \theta - 1$，积分变为： \[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\csc^2 \theta - 1) \, d\theta = \left[ -\cot \theta - \theta \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}. \] 计算得： \[ \left( -\cot \frac{\pi}{2} + \cot \frac{\pi}{4} \right) - \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right) = 1 - \frac{\pi}{4}. \] 答案：$\boxed{C}$

解析

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是通过三角替换法处理根号表达式，以及利用三角恒等式简化积分过程。

解题核心思路：

三角替换：观察到积分中含有$\sqrt{1-x^2}$，自然联想到令$x = \sin \theta$，将根号表达式转化为三角函数形式，简化积分。
积分上下限转换：根据$x$的取值范围，确定$\theta$的上下限。
恒等变形：利用$\cot^2 \theta = \csc^2 \theta - 1$将积分转化为易求解的形式。
分部积分：直接对$\csc^2 \theta$和常数项分别积分，最终代入上下限计算。

破题关键点：

正确选择替换变量，将根号消去。
灵活应用三角恒等式，将复杂积分拆解为简单形式。
准确计算上下限对应的$\theta$值，避免代入错误。

变量替换与积分转换

令$x = \sin \theta$，则$dx = \cos \theta \, d\theta$，且：

当$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$时，$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}$；
当$x = 1$时，$\sin \theta = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2}$。

原积分变为：
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta} \cdot \cos \theta \, d\theta = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} \, d\theta = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot^2 \theta \, d\theta.$

利用三角恒等式简化

由$\cot^2 \theta = \csc^2 \theta - 1$，积分变为：
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\csc^2 \theta - 1) \, d\theta.$

分项积分

分别积分$\csc^2 \theta$和$1$：
$\int \csc^2 \theta \, d\theta = -\cot \theta, \quad \int 1 \, d\theta = \theta.$

代入上下限计算

整体积分结果为：
$\left[ -\cot \theta - \theta \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}.$

计算上下限：

上限$\theta = \frac{\pi}{2}$：
$-\cot \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = -0 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$；
下限$\theta = \frac{\pi}{4}$：
$-\cot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = -1 - \frac{\pi}{4}$。

最终结果：
$\left( -\frac{\pi}{2} \right) - \left( -1 - \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\pi}{2} + 1 + \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{\pi}{4}.$