题目

单选题（共10题，55.0分） 3.（5.0分） 实 二 次 型 f(x_(1),x_(2),x_(3))=x_(1)^2+x_(2)^2+2x_(3)^2+2x_(2)x_(3)是（）的. A. 以上都不对 B. 正定 C. 不定 D. 负定

单选题（共10题，55.0分） 3.（5.0分） 实 二 次 型 $f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2x_{3}^{2}+2x_{2}x_{3}$是（）的.
A. 以上都不对
B. 正定
C. 不定
D. 负定

题目解答

答案

为了确定二次型 $ f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + x_2^2 + 2x_3^2 + 2x_2 x_3 $ 的性质，我们需要分析其对应的对称矩阵。二次型可以表示为矩阵形式 $ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} $，其中 $ \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} $ 且 $ A $ 是对称矩阵。 首先，我们找到矩阵 $ A $。二次型 $ f(x_1, x_2, x_3) $ 可以写为： \[ f(x_1, x_2, x_3) = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}. \] 因此，矩阵 $ A $ 是： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}. \] 为了确定二次型的性质，我们需要检查矩阵 $ A $ 的所有顺序主子式。一个对称矩阵是正定的当且仅当所有其顺序主子式都是正的。 矩阵 $ A $ 的顺序主子式为： 1. 第一个顺序主子式是 $ A $ 的左上角 $ 1 \times 1 $ 子矩阵的行列式： \[ \Delta_1 = \det \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix} = 1. \] 2. 第二个顺序主子式是 $ A $ 的左上角 $ 2 \times 2 $ 子矩阵的行列式： \[ \Delta_2 = \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1. \] 3. 第三个顺序主子式是 $ A $ 的行列式： \[ \Delta_3 = \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 2 - 1 \cdot 1) - 0 \cdot (0 \cdot 2 - 0 \cdot 1) + 0 \cdot (0 \cdot 1 - 0 \cdot 1) = 1 \cdot 1 = 1. \] 由于所有顺序主子式 $ \Delta_1, \Delta_2, \Delta_3 $ 都是正的，矩阵 $ A $ 是正定的。因此，二次型 $ f(x_1, x_2, x_3) $ 是正定的。 答案是：$\boxed{B}$。

解析

本题考查二次型的正定性判断，解题思路是先将二次型转化为矩阵形式，得到对应的对称矩阵，然后通过计算该矩阵的所有顺序主子式的值，根据顺序主子式的值来判断二次型的正定性。

  1. 将二次型转化为矩阵形式：
    已知二次型$f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2x_{3}^{2}+2x_{2}x_{3}$，根据二次型与矩阵的对应关系，可将其写成矩阵形式$\mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，其中$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$，且$A$是对称矩阵。
    对于二次型$f(x_{1},x_{2},x_{3})$，其矩阵$A$的元素$a_{ij}$（$i,j = 1,2,3$）的确定方法为：当$i = j$时，$a_{ii}$是$x_{i}^{2}$的系数；当$i\neq j$时，$a_{ij}=a_{ji}$是$x_{i}x_{j}$系数的一半。
    所以可得矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$。
  2. 计算矩阵$A$的顺序主子式：
    • 第一个顺序主子式$\Delta_1$是$A$的左上角$1\times1$子矩阵的行列式，即$\Delta_1 = \det \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix} = 1$。
    • 第二个顺序主子式$\Delta_2$是$A$的左上角$2\times2$子矩阵的行列式，根据二阶行列式的计算公式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，可得$\Delta_2 = \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1\times1 - 0\times0 = 1$。
    • 第三个顺序主子式$\Delta_3$是$A$的行列式，根据三阶行列式的计算公式$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}$，可得：
      $\Delta_3 = \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} = 1\times\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}-0\times\begin{vmatrix}0&1\\0&2\end{vmatrix}+0\times\begin{vmatrix}0&1\\0&1\end{vmatrix}=1\times(1\times2 - 1\times1) - 0 + 0 = 1$。
  3. 根据顺序主子式的值判断二次型的正定性：
    根据顺序主子式判别法，一个对称矩阵是正定的当且仅当所有其顺序主子式都是正的。
    由于$\Delta_1 = 1>0$，$\Delta_2 = 1>0$，$\Delta_3 = 1>0$，即矩阵$A$的所有顺序主子式都为正，所以矩阵$A$是正定的，那么二次型$f(x_{1},x_{2},x_{3})$是正定的。