记 P(A) 为 A 的幂集，集合 A=a,b，根据幂集的定义，下列结论正确的有（）。A. P(A)=2B. P(A)=4C. |P(A)|=4D. |P(A)|=2

本题考查幂集的定义以及集合元素个数的表示方法。解题思路是先根据幂集的定义求出集合$A$的幂集$P(A)$，再确定幂集$P(A)$中元素的个数，最后根据集合元素个数的表示方法判断各个选项的正确性。

1. 求集合$A$的幂集$P(A)$：
   幂集是一个集合的所有子集组成的集合。已知集合$A = \{a, b\}$，它的子集包括：
   • 空集$\varnothing$；
   • 只包含一个元素的子集$\{a\}$，$\{b\}$；
   • 包含集合$A$所有元素的子集$\{a, b\}$。
     所以集合$A$的幂集$P(A)=\{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\}$。
2. 确定幂集$P(A)$中元素的个数：
   由上一步可知$P(A)=\{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\}$，数一下其中元素的个数，可得$\vert P(A)\vert = 4$，这里$\vert P(A)\vert$表示集合$P(A)$中元素的个数。
3. 判断各个选项的正确性：
   • 选项A：$P(A)$是一个集合，而$2$是一个数，集合和数不能相等，所以选项A错误。
   • 选项B：同理，$P(A)$是集合，$4$是数，二者不能相等，所以选项B错误。
   • 选项C：由前面计算可知$\vert P(A)\vert = 4$，所以选项C正确。
   • 选项D：前面已算出$\vert P(A)\vert = 4\neq 2$，所以选项D错误。