1. 已知曲面z=4-x^2-y^2上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z-1=0，则点P的坐标为____.A. (1,-1,2)B. (-1,1,2)C. (1,1,2)D. (-1,-1,2)

本题考查曲面的切平面相关知识，解题的关键思路是先求出曲面的法向量，再根据切平面与已知平面平行，其法向量也平行这一性质来确定点$P$的坐标。

1. 设$F(x,y,z)=4 - x^{2} - y^{2}-z$，根据求偏导数的公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，分别对$x$、$y$、$z$求偏导数：

   • 对$x$求偏导数：$F_{x}=\frac{\partial F}{\partial x}=-2x$；
   • 对$y$求偏导数：$F_{y}=\frac{\partial F}{\partial y}=-2y$；
   • 对$z$求偏导数：$F_{z}=\frac{\partial F}{\partial z}=-1$。
     所以曲面$z = 4 - x^{2} - y^{2}$在点$P(x,y,z)$处的法向量$\vec{n}=(F_{x},F_{y},F_{z})=(-2x,-2y,-1)$。

2. 已知平面$2x + 2y + z - 1 = 0$，其法向量$\vec{m}=(2,2,1)$。
   因为曲面在点$P$处的切平面平行于平面$2x + 2y + z - 1 = 0$，所以两平面的法向量平行，即$\vec{n}$与$\vec{m}$平行。
   两个向量平行，则对应坐标成比例，可得$\frac{-2x}{2}=\frac{-2y}{2}=\frac{-1}{1}$。

3. 求解上述比例式：

   • 由$\frac{-2x}{2}=\frac{-1}{1}$，交叉相乘可得$-2x=-2$，解得$x = 1$；
   • 由$\frac{-2y}{2}=\frac{-1}{1}$，交叉相乘可得$-2y=-2$，解得$y = 1$。

4. 将$x = 1$，$y = 1$代入曲面方程$z = 4 - x^{2} - y^{2}$，可得$z=4 - 1^{2}-1^{2}=4 - 1 - 1 = 2$。

   所以点$P$的坐标为$(1,1,2)$。