题目
微分方程 (dy)/(dx) - y tan x = sec x 满足初始条件 y|_(x=0) = 0 的特解为() A. y = x sin xB. y = x sec xC. y = x cos xD. y = x tan x
微分方程 $\frac{dy}{dx} - y \tan x = \sec x$ 满足初始条件 $y|_{x=0} = 0$ 的特解为()
- A. $y = x \sin x$
- B. $y = x \sec x$
- C. $y = x \cos x$
- D. $y = x \tan x$
题目解答
答案
为了求解微分方程 $\frac{dy}{dx} - y \tan x = \sec x$ 满足初始条件 $y|_{x=0} = 0$ 的特解，我们可以使用一阶线性微分方程的解法。一阶线性微分方程的一般形式为：
\[
\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)
\]
其中 $P(x) = -\tan x$ 和 $Q(x) = \sec x$。一阶线性微分方程的通解公式为：
\[
y = e^{-\int P(x) \, dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \, dx + C \right)
\]
首先，我们计算积分因子 $e^{\int P(x) \, dx}$：
\[
\int P(x) \, dx = \int -\tan x \, dx = -\int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \ln |\cos x|
\]
因此，积分因子为：
\[
e^{\int P(x) \, dx} = e^{\ln |\cos x|} = \cos x
\]
将积分因子代入通解公式，我们得到：
\[
y = e^{-\ln |\cos x|} \left( \int \sec x \cos x \, dx + C \right) = \frac{1}{\cos x} \left( \int 1 \, dx + C \right) = \sec x (x + C)
\]
现在，我们使用初始条件 $y|_{x=0} = 0$ 来确定常数 $C$：
\[
y(0) = \sec 0 (0 + C) = 1 \cdot C = C = 0
\]
所以，特解为：
\[
y = x \sec x
\]
因此，正确答案是 $\boxed{B}$。
解析
步骤 1：确定微分方程类型
微分方程 $\frac{dy}{dx} - y \tan x = \sec x$ 是一阶线性微分方程，其一般形式为 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$，其中 $P(x) = -\tan x$ 和 $Q(x) = \sec x$。
步骤 2：计算积分因子
积分因子 $e^{\int P(x) \, dx}$ 为 $e^{\int -\tan x \, dx} = e^{\ln |\cos x|} = \cos x$。
步骤 3：求通解
将积分因子代入通解公式 $y = e^{-\int P(x) \, dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \, dx + C \right)$，得到 $y = \sec x (x + C)$。
步骤 4：应用初始条件
应用初始条件 $y|_{x=0} = 0$，得到 $C = 0$，从而特解为 $y = x \sec x$。
微分方程 $\frac{dy}{dx} - y \tan x = \sec x$ 是一阶线性微分方程，其一般形式为 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$，其中 $P(x) = -\tan x$ 和 $Q(x) = \sec x$。
步骤 2：计算积分因子
积分因子 $e^{\int P(x) \, dx}$ 为 $e^{\int -\tan x \, dx} = e^{\ln |\cos x|} = \cos x$。
步骤 3：求通解
将积分因子代入通解公式 $y = e^{-\int P(x) \, dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \, dx + C \right)$，得到 $y = \sec x (x + C)$。
步骤 4：应用初始条件
应用初始条件 $y|_{x=0} = 0$，得到 $C = 0$，从而特解为 $y = x \sec x$。