2.已知函数f(x)=}2(1-cos x))/(x^2),x<0b,x=0e^ax-1)/(x),x>0在其定义域内连续，则a和b的值分别为( ) A.1、1 B.2、2 C.1、2 D.2、1

考查要点：本题主要考查函数在分段点处的连续性条件，需要利用极限的计算（特别是泰勒展开的应用）来确定参数的值。

解题核心思路：
函数在$x=0$处连续，当且仅当左极限、右极限和函数值$f(0)$三者相等。因此，需分别计算$x \to 0^-$时的左极限、$x \to 0^+$时的右极限，并与$f(0)=b$联立求解$a$和$b$。

破题关键点：

1. 左极限：利用泰勒展开$1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$简化表达式。
2. 右极限：利用泰勒展开$e^{ax} \sim 1 + ax$简化表达式。
3. 联立方程：通过连续性条件建立方程，解出$a$和$b$。

1. 计算左极限（$x \to 0^-$）

当$x \to 0^-$时，$f(x) = \frac{2(1 - \cos x)}{x^2}$。
利用泰勒展开$1 - \cos x = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \cdots$，忽略高阶小项后：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{2 \cdot \frac{x^2}{2}}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2}{x^2} = 1.$

2. 计算右极限（$x \to 0^+$）

当$x \to 0^+$时，$f(x) = \frac{e^{ax} - 1}{x}$。
利用泰勒展开$e^{ax} = 1 + ax + \frac{(ax)^2}{2} + \cdots$，忽略高阶小项后：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{ax}{x} = a.$

3. 联立连续性条件

函数在$x=0$处连续，需满足：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x).$
代入已知条件$f(0) = b$，得方程组：
$\begin{cases}1 = b, \\b = a.\end{cases}$
解得：$a = 1$，$b = 1$。