题目
曲线=dfrac ({x)^2}(1+{x)^2}与其渐近线围成区域绕其渐近线旋转所得旋转体体积 V = _____.
曲线
与其渐近线围成区域绕其渐近线旋转所得旋转体体积 V = _____.
题目解答
答案
∵
∴y在
上连续,无铅直渐近线，
∴x轴为y的水平渐近线，且
恒成立。
∴
∵
∴
即
解析
步骤 1：确定渐近线
曲线$y=\dfrac {{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$在$x\rightarrow \infty$时，$y\rightarrow 1$，因此，$y=1$是曲线的水平渐近线。同时，由于$1+{x}^{2}\neq 0$，曲线在实数域上连续，没有铅直渐近线。
步骤 2：计算旋转体体积
曲线绕其渐近线$y=1$旋转，旋转体的体积$V$可以通过计算旋转体的横截面面积的积分得到。横截面面积$A(x)$为圆环的面积，其外半径为$1$，内半径为$1-y$，因此$A(x)=\pi(1^2-(1-y)^2)=\pi(2y-y^2)$。将$y=\dfrac {{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$代入，得到$A(x)=\pi(2\cdot\dfrac {{x}^{2}}{1+{x}^{2}}-(\dfrac {{x}^{2}}{1+{x}^{2}})^2)$。因此，旋转体体积$V$为$V={\int }_{-\infty }^{+\infty }A(x)dx$。
步骤 3：计算积分
$V={\int }_{-\infty }^{+\infty }\pi(2\cdot\dfrac {{x}^{2}}{1+{x}^{2}}-(\dfrac {{x}^{2}}{1+{x}^{2}})^2)dx$
$={\int }_{-\infty }^{+\infty }\pi(\dfrac {2{x}^{2}}{1+{x}^{2}}-\dfrac {{x}^{4}}{(1+{x}^{2})^2})dx$
$={\int }_{-\infty }^{+\infty }\pi(\dfrac {2{x}^{2}+2-{x}^{4}}{(1+{x}^{2})^2}-\dfrac {2}{1+{x}^{2}})dx$
$={\int }_{-\infty }^{+\infty }\pi(\dfrac {2}{1+{x}^{2}}-\dfrac {2}{(1+{x}^{2})^2})dx$
$=\pi{\int }_{-\infty }^{+\infty }(\dfrac {2}{1+{x}^{2}}-\dfrac {2}{(1+{x}^{2})^2})dx$
$=\pi[2\arctan(x)+\dfrac {1}{1+{x}^{2}}]|_{-\infty }^{+\infty }$
$=\pi[\pi-0]$
$=\dfrac {1}{2}{\pi }^{2}$
曲线$y=\dfrac {{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$在$x\rightarrow \infty$时，$y\rightarrow 1$，因此，$y=1$是曲线的水平渐近线。同时，由于$1+{x}^{2}\neq 0$，曲线在实数域上连续，没有铅直渐近线。
步骤 2：计算旋转体体积
曲线绕其渐近线$y=1$旋转，旋转体的体积$V$可以通过计算旋转体的横截面面积的积分得到。横截面面积$A(x)$为圆环的面积，其外半径为$1$，内半径为$1-y$，因此$A(x)=\pi(1^2-(1-y)^2)=\pi(2y-y^2)$。将$y=\dfrac {{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$代入，得到$A(x)=\pi(2\cdot\dfrac {{x}^{2}}{1+{x}^{2}}-(\dfrac {{x}^{2}}{1+{x}^{2}})^2)$。因此，旋转体体积$V$为$V={\int }_{-\infty }^{+\infty }A(x)dx$。
步骤 3：计算积分
$V={\int }_{-\infty }^{+\infty }\pi(2\cdot\dfrac {{x}^{2}}{1+{x}^{2}}-(\dfrac {{x}^{2}}{1+{x}^{2}})^2)dx$
$={\int }_{-\infty }^{+\infty }\pi(\dfrac {2{x}^{2}}{1+{x}^{2}}-\dfrac {{x}^{4}}{(1+{x}^{2})^2})dx$
$={\int }_{-\infty }^{+\infty }\pi(\dfrac {2{x}^{2}+2-{x}^{4}}{(1+{x}^{2})^2}-\dfrac {2}{1+{x}^{2}})dx$
$={\int }_{-\infty }^{+\infty }\pi(\dfrac {2}{1+{x}^{2}}-\dfrac {2}{(1+{x}^{2})^2})dx$
$=\pi{\int }_{-\infty }^{+\infty }(\dfrac {2}{1+{x}^{2}}-\dfrac {2}{(1+{x}^{2})^2})dx$
$=\pi[2\arctan(x)+\dfrac {1}{1+{x}^{2}}]|_{-\infty }^{+\infty }$
$=\pi[\pi-0]$
$=\dfrac {1}{2}{\pi }^{2}$