题目
2.求心形线 ρ=a(1+cosθ),a>0 所围成图形的面积.
2.求心形线 $ρ=a(1+cosθ),a>0$ 所围成图形的面积.
题目解答
答案
心形线 $\rho = a(1 + \cos \theta)$ 关于极轴对称，可计算极轴上方部分面积后乘以 2。
面积公式为：
\[
A = 2 \times \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} [a(1 + \cos \theta)]^2 \, d\theta = a^2 \int_{0}^{\pi} (1 + 2\cos \theta + \cos^2 \theta) \, d\theta
\]
利用 $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$，得：
\[
A = a^2 \int_{0}^{\pi} \left( \frac{3}{2} + 2\cos \theta + \frac{\cos 2\theta}{2} \right) \, d\theta
\]
计算积分：
\[
\int_{0}^{\pi} \frac{3}{2} \, d\theta = \frac{3\pi}{2}, \quad \int_{0}^{\pi} 2\cos \theta \, d\theta = 0, \quad \int_{0}^{\pi} \frac{\cos 2\theta}{2} \, d\theta = 0
\]
总积分值为 $\frac{3\pi}{2}$，故面积为：
\[
A = a^2 \times \frac{3\pi}{2} = \boxed{\frac{3\pi a^2}{2}}
\]
解析
本题考查极坐标下平面图形的面积计算。解题思路如下：
- 首先，根据心形线$\rho = a(1 + \cos\theta)$的对称性，它关于极轴对称，所以我们可以先计算极轴上方部分图形的面积，然后将其乘以$2$就得到整个图形的面积。
- 极坐标下平面图形的面积公式为$A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\rho^{2}(\theta)d\theta$，对于极轴上方部分，$\theta$的取值范围是从$0$到$\pi$，那么极轴上方部分的面积为$\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}[a(1 + \cos\theta)]^{2}d\theta$，整个图形的面积$A = 2\times\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}[a(1 + \cos\theta)]^{2}d\theta$。
- 对$[a(1 + \cos\theta)]^{2}$进行展开：
- 根据完全平方公式$(m + n)^2=m^{2}+2mn + n^{2}$，这里$m = 1$，$n=\cos\theta$，则$[a(1 + \cos\theta)]^{2}=a^{2}(1 + 2\cos\theta+\cos^{2}\theta)$。
- 所以$A = a^{2}\int_{0}^{\pi}(1 + 2\cos\theta+\cos^{2}\theta)d\theta$。
- 利用三角函数的二倍角公式$\cos^{2}\theta=\frac{1 + \cos2\theta}{2}$对被积函数进行化简：
- $1 + 2\cos\theta+\cos^{2}\theta=1 + 2\cos\theta+\frac{1 + \cos2\theta}{2}=\frac{2 + 4\cos\theta+1+\cos2\theta}{2}=\frac{3}{2}+2\cos\theta+\frac{\cos2\theta}{2}$。
- 则$A = a^{2}\int_{0}^{\pi}(\frac{3}{2}+2\cos\theta+\frac{\cos2\theta}{2})d\theta$。
- 分别计算各项积分：
- 对于$\int_{0}^{\pi}\frac{3}{2}d\theta$，根据积分公式$\int kd\theta=k\theta + C$（$k$为常数），可得$\int_{0}^{\pi}\frac{3}{2}d\theta=\frac{3}{2}\theta\big|_{0}^{\pi}=\frac{3}{2}(\pi - 0)=\frac{3\pi}{2}$。
- 对于$\int_{0}^{\pi}2\cos\theta d\theta$，根据积分公式$\int\cos\theta d\theta=\sin\theta + C$，可得$\int_{0}^{\pi}2\cos\theta d\theta=2\sin\theta\big|_{0}^{\pi}=2(\sin\pi-\sin0)=2(0 - 0)=0$。
- 对于$\int_{0}^{\pi}\frac{\cos2\theta}{2}d\theta$，令$u = 2\theta$，则$du=2d\theta$，当$\theta = 0$时，$u = 0$；当$\theta=\pi$时，$u = 2\pi$，$\int_{0}^{\pi}\frac{\cos2\theta}{2}d\theta=\frac{1}{4}\int_{0}^{2\pi}\cos udu$，又因为$\int\cos udu=\sin u + C$，所以$\frac{1}{4}\int_{0}^{2\pi}\cos udu=\frac{1}{4}\sin u\big|_{0}^{2\pi}=\frac{1}{4}(\sin2\pi-\sin0)=0$。
- 计算总面积$A$：
- 因为$\int_{0}^{\pi}(\frac{3}{2}+2\cos\theta+\frac{\cos2\theta}{2})d\theta=\int_{0}^{\pi}\frac{3}{2}d\theta+\int_{0}^{\pi}2\cos\theta d\theta+\int_{0}^{\pi}\frac{\cos2\theta}{2}d\theta=\frac{3\pi}{2}+0 + 0=\frac{3\pi}{2}$。
- 所以$A = a^{2}\times\frac{3\pi}{2}=\frac{3\pi a^{2}}{2}$。