题目
一、(本题满分6分)计算 | } 1 & 2 & 0 & 1 2 & 0 & -1 & 1 -1 & 2 & 3 & 0 1 & 1 & -1 & 2 |
一、(本题满分6分)
计算 $| \begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 2 \end{matrix} |$
题目解答
答案
为了计算矩阵 $ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} $ 的行列式，我们可以使用余子式展开法。我们将沿着第一行进行展开。
矩阵 $ A $ 的行列式由下式给出：
\[
\det(A) = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} - 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} + 0 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} - 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}
\]
我们可以简化为：
\[
\det(A) = \det \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} - 2 \det \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} - \det \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}
\]
现在，我们需要计算每个 3x3 行列式。
1. 计算 $ \det \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} $：
\[
\det \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} = 0 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} - (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
\]
\[
= 0 + \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
\]
\[
= 0 + (2 \cdot 2 - 0 \cdot 1) + (2 \cdot (-1) - 3 \cdot 1)
\]
\[
= 0 + 4 + (-2 - 3)
\]
\[
= 0 + 4 - 5
\]
\[
= -1
\]
2. 计算 $ \det \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} $：
\[
\det \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} - (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + 1 \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
\]
\[
= 2 \cdot (3 \cdot 2 - 0 \cdot (-1)) + \det \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
\]
\[
= 2 \cdot 6 + (-1 \cdot 2 - 0 \cdot 1) + (-1 \cdot (-1) - 3 \cdot 1)
\]
\[
= 12 + (-2) + (1 - 3)
\]
\[
= 12 - 2 - 2
\]
\[
= 8
\]
3. 计算 $ \det \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} $：
\[
\det \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} = 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} - 0 \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
\]
\[
= 2 \cdot (2 \cdot (-1) - 3 \cdot 1) - 0 + (-1) \cdot (-1 \cdot 1 - 2 \cdot 1)
\]
\[
= 2 \cdot (-2 - 3) - 0 + (-1) \cdot (-1 - 2)
\]
\[
= 2 \cdot (-5) + 3
\]
\[
= -10 + 3
\]
\[
= -7
\]
现在，将这些值代回行列式的表达式中：
\[
\det(A) = -1 - 2 \cdot 8 - (-7)
\]
\[
= -1 - 16 + 7
\]
\[
= -10
\]
因此，矩阵 $ A $ 的行列式是 $\boxed{-10}$。
解析
本题考查矩阵行列式的计算，解题思路是使用余子式展开法，沿着矩阵的第一行进行展开，然后分别计算展开后得到的 3x3 矩阵的行列式，最后将这些行列式的值代回展开式中进行计算。
-
首先，将矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ 的行列式沿着第一行展开，得到：
$\det(A) = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} - 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} + 0 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} - 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$
由于第三项为 $0$，所以可以简化为：
$\det(A) = \det \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} - 2 \det \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} - \det \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ -
接着，分别计算这三个 3x3 矩阵的行列式：
- 计算 $\det \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$：
$\det \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} = 0 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} - (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$
$= 0 + \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$
$= 0 + (2 \cdot 2 - 0 \cdot 1) + (2 \cdot (-1) - 3 \cdot 1)$
$= 0 + 4 + (-2 - 3)$
$= 0 + 4 - 5$
$= -1$ - 计算 $\det \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$：
$\det \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} - (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + 1 \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$
$= 2 \cdot (3 \cdot 2 - 0 \cdot (-1)) + \det \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$
$= 2 \cdot 6 + (-1 \cdot 2 - 0 \cdot 1) + (-1 \cdot (-1) - 3 \cdot 1)$
$= 12 + (-2) + (1 - 3)$
$= 12 - 2 - 2$
$= 8$ - 计算 $\det \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$：
$\det \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} = 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} - 0 \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
$= 2 \cdot (2 \cdot (-1) - 3 \cdot 1) - 0 + (-1) \cdot (-1 \cdot 1 - 2 \cdot 1)$
$= 2 \cdot (-2 - 3) - 0 + (-1) \cdot (-1 - 2)$
$= 2 \cdot (-5) + 3$
$= -10 + 3$
$= -7$
- 计算 $\det \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$：
-
最后，将这些行列式的值代回展开式中进行计算：
$\det(A) = -1 - 2 \cdot 8 - (-7)$
$= -1 - 16 + 7$
$= -10$