题目

7.(填空题，4分)设X是一个随机变量，E(X)存在，则E(E[E(X)])=____.我的答案：(1)E(X)

7.(填空题，4分) 设X是一个随机变量，E(X)存在，则E{E[E(X)]}=____. 我的答案： (1)E(X)

题目解答

答案

要解决这个问题，我们需要理解期望的性质。期望是一个线性算子，这意味着对于任何随机变量 $X$ 和常数 $c$，有 $E(c) = c$ 和 $E(cX) = cE(X)$。 给定 $E(X)$ 存在，我们设 $E(X) = \mu$，其中 $\mu$ 是一个常数。现在，我们需要计算 $E\{E[E(X)]\}$。 1. 首先，计算内层的期望 $E(X)$。根据定义，$E(X) = \mu$。 2. 接下来，计算 $E[\mu]$。由于 $\mu$ 是一个常数，根据期望的性质，$E[\mu] = \mu$。 3. 最后，计算 $E[\mu]$ 再次。同样，由于 $\mu$ 是一个常数， $E[\mu] = \mu$。 因此， $E\{E[E(X)]\} = \mu = E(X)$。 所以，答案是 $\boxed{E(X)}$。

解析

本题考查随机变量期望的性质。解题的关键在于理解期望的一个重要性质：对于任意常数 $c$，有 $E(c)=c$。我们将逐步计算 $E\{E[E(X)]\}$ 的值。

  1. 设 $E(X)=\mu$，因为 $E(X)$ 存在，所以 $\mu$ 是一个常数。
  2. 计算 $E[E(X)]$，由于 $E(X)=\mu$，那么 $E[E(X)] = E(\mu)$。根据期望的性质 $E(c)=c$（这里 $c = \mu$），可得 $E(\mu)=\mu$。
  3. 计算 $E\{E[E(X)]\}$，因为 $E[E(X)]=\mu$，所以 $E\{E[E(X)]\}=E(\mu)$。再根据期望的性质 $E(c)=c$（这里 $c = \mu$），可得 $E(\mu)=\mu$。
  4. 又因为 $\mu = E(X)$，所以 $E\{E[E(X)]\}=E(X)$。