题目
已知一个四阶常系数齐次线性微分方程的四个线性无关的特解_(1)=(e)^3x，_(1)=(e)^3x，_(1)=(e)^3x，_(1)=(e)^3x，则这个四阶微分方程为( )。A. _(1)=(e)^3xB. _(1)=(e)^3xC. _(1)=(e)^3xD. _(1)=(e)^3x
已知一个四阶常系数齐次线性微分方程的四个线性无关的特解
，
，
，
，
则这个四阶微分方程为( )。
A. 
B. 
C. 
D. 
题目解答
答案
解：已知个四阶常系数齐次线性微分方程的四个线性无关的特解，，，，
由，可知：所对应的特征根为
，
由，可知：所对应的特征根为一对共轭复数，即
，
，
由此可得原齐次线性微分方程所对应的特征方程为
，
即
，
所以这个四阶微分方程为.
故答案为：B.
解析
步骤 1：确定特征根
根据已知的特解${y}_{1}={e}^{3x}$，${y}_{2}=x{e}^{3x}$，${y}_{3}=\cos \sqrt {2}x$，${y}_{4}=2\sin \sqrt {2}x$，可以确定对应的特征根。${y}_{1}$和${y}_{2}$表明特征方程有一个二重根$r=3$，而${y}_{3}$和${y}_{4}$表明特征方程有一对共轭复数根$r=\pm \sqrt{2}i$。
步骤 2：构造特征方程
根据特征根$r=3$（二重根）和$r=\pm \sqrt{2}i$，可以构造特征方程为$(r-3)^2(r^2+2)=0$。展开这个方程，得到$r^4-6r^3+11r^2-12r+18=0$。
步骤 3：写出微分方程
根据特征方程$r^4-6r^3+11r^2-12r+18=0$，可以写出对应的四阶常系数齐次线性微分方程为${y}^{(4)}-6{y}^{11}+11{y}^{11}-12y'+18y=0$。
根据已知的特解${y}_{1}={e}^{3x}$，${y}_{2}=x{e}^{3x}$，${y}_{3}=\cos \sqrt {2}x$，${y}_{4}=2\sin \sqrt {2}x$，可以确定对应的特征根。${y}_{1}$和${y}_{2}$表明特征方程有一个二重根$r=3$，而${y}_{3}$和${y}_{4}$表明特征方程有一对共轭复数根$r=\pm \sqrt{2}i$。
步骤 2：构造特征方程
根据特征根$r=3$（二重根）和$r=\pm \sqrt{2}i$，可以构造特征方程为$(r-3)^2(r^2+2)=0$。展开这个方程，得到$r^4-6r^3+11r^2-12r+18=0$。
步骤 3：写出微分方程
根据特征方程$r^4-6r^3+11r^2-12r+18=0$，可以写出对应的四阶常系数齐次线性微分方程为${y}^{(4)}-6{y}^{11}+11{y}^{11}-12y'+18y=0$。