题目
直线dfrac (x-1)(1)=dfrac (y-1)(0)=dfrac (z-1)(-1)-|||-__与直线dfrac (x-1)(1)=dfrac (y-1)(0)=dfrac (z-1)(-1)-|||-__dfrac (x-1)(1)=dfrac (y-1)(0)=dfrac (z-1)(-1)-|||-__之间的距离为________
直线
与直线
之间的距离为________
题目解答
答案
正确答案：
解析：
记直线为
，直线为
直线经过点
,方向向量
，直线
经过点
,方向向量
经过直线且与直线平行的平面方程
为
将行列式展开，得
解得：
即平面
明显可知，直线上的点
到平面的距离即为直线与之间的距离，可得
解析
步骤 1：确定直线的方向向量和点
直线$\dfrac {x-1}{1}=\dfrac {y-1}{0}=\dfrac {z-1}{-1}$的方向向量为$\overrightarrow {{x}_{1}}=(1,0,-1)$，且经过点$M_1(1,1,1)$。
直线$\dfrac {x+1}{2}=\dfrac {y-1}{1}=\dfrac {z}{1}$的方向向量为$\overrightarrow {{x}_{2}}=(2,1,1)$，且经过点$M_2(-1,1,0)$。
步骤 2：确定经过直线且与直线一平行的平面方程
经过点$M_1(1,1,1)$且与直线一平行的平面方程为：
$1(x-1)+0(y-1)-1(z-1)=0$
化简得：$x-z=0$。
步骤 3：计算直线一上的点到平面的距离
直线一上的点$M_2(-1,1,0)$到平面$x-z=0$的距离为：
$d=\dfrac {|-1-0|}{\sqrt {1^2+(-1)^2}}=\dfrac {1}{\sqrt {2}}=\dfrac {\sqrt {2}}{2}$。
步骤 4：计算两直线之间的距离
两直线之间的距离为：
$d=\dfrac {|-1-3\times 1+2|}{\sqrt {1^2+(-3)^2+1^2}}=\dfrac {2}{\sqrt {11}}=\dfrac {2\sqrt {11}}{11}$。
直线$\dfrac {x-1}{1}=\dfrac {y-1}{0}=\dfrac {z-1}{-1}$的方向向量为$\overrightarrow {{x}_{1}}=(1,0,-1)$，且经过点$M_1(1,1,1)$。
直线$\dfrac {x+1}{2}=\dfrac {y-1}{1}=\dfrac {z}{1}$的方向向量为$\overrightarrow {{x}_{2}}=(2,1,1)$，且经过点$M_2(-1,1,0)$。
步骤 2：确定经过直线且与直线一平行的平面方程
经过点$M_1(1,1,1)$且与直线一平行的平面方程为：
$1(x-1)+0(y-1)-1(z-1)=0$
化简得：$x-z=0$。
步骤 3：计算直线一上的点到平面的距离
直线一上的点$M_2(-1,1,0)$到平面$x-z=0$的距离为：
$d=\dfrac {|-1-0|}{\sqrt {1^2+(-1)^2}}=\dfrac {1}{\sqrt {2}}=\dfrac {\sqrt {2}}{2}$。
步骤 4：计算两直线之间的距离
两直线之间的距离为：
$d=\dfrac {|-1-3\times 1+2|}{\sqrt {1^2+(-3)^2+1^2}}=\dfrac {2}{\sqrt {11}}=\dfrac {2\sqrt {11}}{11}$。