求函数U f(x)=2x^2- lnx的单调区间和极值.

本题考查利用导数求函数的单调区间和极值。解题思路如下：

1. 首先确定函数的定义域，因为对数函数中真数须大于$0$，所以对于函数$f(x)=2x^{2}-\ln x$，其定义域为$(0, +\infty)$。
2. 然后对函数$f(x)$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，可得：
   • $f^\prime(x)=(2x^{2}-\ln x)^\prime=(2x^{2})^\prime-(\ln x)^\prime$。
   • 对于$(2x^{2})^\prime$，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，这里$n = 2$，系数为$2$，则$(2x^{2})^\prime=2\times2x=4x$；$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，所以$f^\prime(x)=4x-\frac{1}{x}$。
   • 为了便于分析$f^\prime(x)$的正负性，对$f^\prime(x)$进行通分，$f^\prime(x)=\frac{4x^{2}}{x}-\frac{1}{x}=\frac{4x^{2}-1}{x}$。
   • 再根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，将$4x^{2}-1$因式分解，$4x^{2}-1=(2x)^{2}-1^{2}=(2x + 1)(2x - 1)$，所以$f^\prime(x)=\frac{(2x + 1)(2x - 1)}{x}$。
3. 接着求函数的单调区间：
   • 令$f^\prime(x)\gt{}0$，即$\frac{(2x + 1)(2x - 1)}{x}\gt{}0$。因为$x\in(0, +\infty)$，所以$x\gt{}0$，要使分式大于$0$，则分子$(2x + 1)(2x - 1)\gt{}0$。
   • 令$(2x + 1)(2x - 1)=0$，则$2x + 1 = 0$或$2x - 1 = 0$，解得$x=-\frac{1}{2}$或$x=\frac{1}{2}$。
   • 结合二次函数$y=(2x + 1)(2x - 1)=4x^{2}-1$的图象性质（二次项系数$4\gt{}0$，图象开口向上），不等式$(2x + 1)(2x - 1)\gt{}0$的解为$x\gt{}\frac{1}{2}$或$x\lt{}-\frac{1}{2}$，又因为$x\in(0, +\infty)$，所以舍去$x\lt{}-\frac{1}{2}$，得到$x\gt{}\frac{1}{2}$，即函数$f(x)$的单调递增区间为$(\frac{1}{2}, +\infty)$。
   • 令$f^\prime(x)\lt{}0$，即$\frac{(2x + 1)(2x - 1)}{x}\lt{}0$，因为$x\in(0, +\infty)$，所以$x\gt{}0$，要使分式小于$0$，则分子$(2x + 1)(2x - 1)\lt{}0$。
   • 由前面分析可知不等式$(2x + 1)(2x - 1)\lt{}0$的解为$-\frac{1}{2}\lt{}x\lt{}\frac{1}{2}$，又因为$x\in(0, +\infty)$，所以$0\lt{}x\lt{}\frac{1}{2}$，即函数$f(x)$的单调递减区间为$(0,\frac{1}{2})$。
4. 最后求函数的极值：
   • 根据函数单调性与极值的关系，当函数在某点左侧单调递减，右侧单调递增时，该点为极小值点。
   • 由前面求得函数$f(x)$在$(0,\frac{1}{2})$上单调递减，在$(\frac{1}{2}, +\infty)$上单调递增，所以$x = \frac{1}{2}$是函数$f(x)$的极小值点。
   • 将$x = \frac{1}{2}$代入函数$f(x)=2x^{2}-\ln x$中，可得$f(\frac{1}{2})=2\times(\frac{1}{2})^{2}-\ln\frac{1}{2}$。
   • 先计算$2\times(\frac{1}{2})^{2}=2\times\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$，$\ln\frac{1}{2}=-\ln2$，所以$f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}-(-\ln2)=\frac{1}{2}+\ln2$，即函数$f(x)$的极小值为$\frac{1}{2}+\ln2$。