下列关于正弦函数叙述错误的是()A. sin^2 z + cos^2 z = 1 B. 是奇函数C. 是以2π为周期的周期函数D. 复平面上的有界函数

本题考查正弦函数在实数与复数范围内的基本性质，需掌握以下关键点：

1. 基本恒等式：$\sin^2 z + \cos^2 z = 1$ 在复数范围内是否成立；
2. 奇偶性：正弦函数是否为奇函数；
3. 周期性：正弦函数的周期是否为$2\pi$；
4. 有界性：复数范围内的正弦函数是否为有界函数。

破题关键在于理解复数范围内正弦函数的行为，尤其是其无界性。

选项A：$\sin^2 z + \cos^2 z = 1$

• 正确性：在复数范围内，正弦和余弦函数的定义仍满足这一恒等式。复变函数中，$\sin z$和$\cos z$的定义基于泰勒展开或欧拉公式，因此该等式成立。

选项B：奇函数

• 正确性：正弦函数满足$f(-z) = -f(z)$。对于复数$z$，$\sin(-z) = -\sin z$，因此是奇函数。

选项C：周期为$2\pi$的周期函数

• 正确性：复数范围内的正弦函数仍以$2\pi$为基本周期，即$\sin(z + 2\pi) = \sin z$。

选项D：复平面上的有界函数

• 错误性：在复数范围内，正弦函数是无界的。例如，当$z = iy$（$y$为实数）时，$\sin(iy) = i \sinh y$，而$\sinh y$随$|y|$增大呈指数增长，因此$|\sin(iy)|$无界。