当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时,三者必 不 相等.A. 正确B. 错误

本题考查二元函数重极限与累次极限的关系。解题思路是通过明确重极限和累次极限的定义，然后依据相关定理来判断题目所给命题的正确性。

重极限和累次极限的定义

• 重极限：设函数 $z = f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $\delta$，使得当点 $P(x,y)$ 满足 $0\lt{}\sqrt{(x - x_0)^2+(y - y_0)^2}\lt{}\delta$ 时，都有 $|f(x,y)-A|\lt{}\varepsilon$ 成立，则称常数 $A$ 为函数 $f(x,y)$ 当 $(x,y)\to(x_0,y_0)$ 时的重极限，记作 $\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A$。
• 累次极限：先对 $y$ 求极限，再对 $x$ 求极限，即 $\lim\limits_{x\to x_0}\lim\limits_{y\to y_0}f(x,y)$；或者先对 $x$ 求极限，再对 $y$ 求极限，即 $\lim\limits_{y\to y_0}\lim\limits_{x\to x_0}f(x,y)$。

相关定理

若二元函数 $f(x,y)$ 的重极限 $\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)$ 与两个累次极限 $\lim\limits_{x\to x_0}\lim\limits_{y\to y_0}f(x,y)$ 和 $\lim\limits_{y\to y_0}\lim\limits_{x\to x_0}f(x,y)$ 都存在，则三者必定相等。

对题目命题的判断

题目中说“当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必不相等”，这与上述定理相悖，所以该命题是错误的。