题目
lim _(xarrow infty )(1-cos x)sin dfrac (1)(x)= __ _.
题目解答
答案
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解析
步骤 1：分析函数的极限
考虑函数 $(1-\cos x)\sin \dfrac {1}{x}$，当 $x$ 趋向于无穷大时，$\sin \dfrac {1}{x}$ 趋向于 $\sin 0 = 0$，而 $1-\cos x$ 在 $x$ 趋向于无穷大时，由于 $\cos x$ 的值在 $[-1, 1]$ 之间波动，$1-\cos x$ 的值在 $[0, 2]$ 之间波动，但不会趋向于无穷大。
步骤 2：应用极限的乘法规则
根据极限的乘法规则，如果两个函数的极限存在，那么它们乘积的极限等于它们极限的乘积。因此，我们有：
$$\lim _{x\rightarrow \infty }(1-\cos x)\sin \dfrac {1}{x} = \left(\lim _{x\rightarrow \infty }1-\cos x\right) \cdot \left(\lim _{x\rightarrow \infty }\sin \dfrac {1}{x}\right)$$
步骤 3：计算极限
由于 $\lim _{x\rightarrow \infty }\sin \dfrac {1}{x} = 0$，而 $1-\cos x$ 的值在 $[0, 2]$ 之间波动，但不会趋向于无穷大，因此乘积的极限为：
$$\left(\lim _{x\rightarrow \infty }1-\cos x\right) \cdot 0 = 0$$
考虑函数 $(1-\cos x)\sin \dfrac {1}{x}$，当 $x$ 趋向于无穷大时，$\sin \dfrac {1}{x}$ 趋向于 $\sin 0 = 0$，而 $1-\cos x$ 在 $x$ 趋向于无穷大时，由于 $\cos x$ 的值在 $[-1, 1]$ 之间波动，$1-\cos x$ 的值在 $[0, 2]$ 之间波动，但不会趋向于无穷大。
步骤 2：应用极限的乘法规则
根据极限的乘法规则，如果两个函数的极限存在，那么它们乘积的极限等于它们极限的乘积。因此，我们有：
$$\lim _{x\rightarrow \infty }(1-\cos x)\sin \dfrac {1}{x} = \left(\lim _{x\rightarrow \infty }1-\cos x\right) \cdot \left(\lim _{x\rightarrow \infty }\sin \dfrac {1}{x}\right)$$
步骤 3：计算极限
由于 $\lim _{x\rightarrow \infty }\sin \dfrac {1}{x} = 0$，而 $1-\cos x$ 的值在 $[0, 2]$ 之间波动，但不会趋向于无穷大，因此乘积的极限为：
$$\left(\lim _{x\rightarrow \infty }1-\cos x\right) \cdot 0 = 0$$