题目
2.4 设P_(1)，P_(2)是两个3阶初等矩阵，且P_(1)=E_(3)(1,2)，P_(2)=E_(3)(1,3(1))，若P_(1)AP_(2)=(}1&2&34&5&67&8&9)，试求出矩阵A.
2.4 设$P_{1}$，$P_{2}$是两个3阶初等矩阵，且$P_{1}=E_{3}(1,2)$，$P_{2}=E_{3}(1,3(1))$，若$P_{1}AP_{2}=\left(\begin{matrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{matrix}\right)$，试求出矩阵A.
题目解答
答案
已知 $P_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，$P_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，且 $P_1AP_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$。
1. **消去 $P_1$ 的影响**：交换第1、2行，得
\[
\begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}
\]
此即 $AP_2$。
2. **消去 $P_2$ 的影响**：第3列减去第1列，得
\[
\begin{pmatrix} 4 & 5 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 7 & 8 & 2 \end{pmatrix}
\]
**答案**：
\[
\boxed{\begin{pmatrix} 4 & 5 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 7 & 8 & 2 \end{pmatrix}}
\]
解析
考查要点：本题主要考查初等矩阵的逆变换应用，以及通过逆变换还原原矩阵的能力。
解题核心思路：
- 理解初等矩阵的作用：初等矩阵对应初等行或列变换，其逆矩阵对应逆变换。
- 逆向操作：根据方程 $P_1AP_2 = B$，通过先消去 $P_1$ 的影响，再消去 $P_2$ 的影响，逐步还原出矩阵 $A$。
- 关键步骤：
- 消去 $P_1$：对 $B$ 进行行交换的逆操作，得到 $AP_2$。
- 消去 $P_2$：对 $AP_2$ 进行列变换的逆操作，得到 $A$。
步骤1：消去 $P_1$ 的影响
$P_1 = E_3(1,2)$ 是交换第1、2行的初等矩阵，其逆矩阵为自身。因此，对 $B$ 交换第1、2行，得到 $AP_2$：
$AP_2 = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$
步骤2：消去 $P_2$ 的影响
$P_2 = E_3(1,3(1))$ 对应列变换“第3列加1倍第1列”，其逆变换为“第3列减1倍第1列”。对 $AP_2$ 第3列减第1列，得到 $A$：
$A = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6-4 \\ 1 & 2 & 3-1 \\ 7 & 8 & 9-7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 7 & 8 & 2 \end{pmatrix}$