题目

1.设随机事件A与B互不相容，则( ). (A)P(overline(AB))=0; (B)P(AB)=P(A.)P(B.); (C.)P(A)=1-P(B); (D.)P(overline(A)cupoverline(B))=1.

1.设随机事件A与B互不相容，则( ). (A)P($\overline{AB}$)=0; (B)P(AB)=P(
A.)P(
B.); (
C.)P(A)=1-P(B); (
D.)P($\overline{A}\cup\overline{B}$)=1.

题目解答

答案

已知事件 $A$ 和 $B$ 互不相容，即 $A \cap B = \emptyset$，则： - **选项A**：$P(\overline{AB}) = P(\overline{A \cap B}) = P(\Omega) = 1$，错误。 - **选项B**：$P(AB) = 0$，而 $P(A)P(B)$ 不一定为0，错误。 - **选项C**：$P(A) + P(B) = P(A \cup B)$，但无法推导出 $P(A) + P(B) = 1$，错误。 - **选项D**：$\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B} = \Omega$，故 $P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 1$，正确。 **答案：** $\boxed{D}$

解析

互不相容事件的定义是$A \cap B = \emptyset$，即$P(AB)=0$。解题的关键在于：

  1. 补集运算：$\overline{AB} = \overline{A \cap B}$，当$A$和$B$互不相容时，$\overline{A \cap B} = \Omega$；
  2. 德摩根定律：$\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$；
  3. 对立事件关系：若$A$和$B$互不相容，但未必满足$P(A) + P(B) = 1$。

选项分析

选项A：$P(\overline{AB}) = 0$

  • 关键推导：
    $\overline{AB} = \overline{A \cap B}$，由于$A$和$B$互不相容，$A \cap B = \emptyset$，故$\overline{A \cap B} = \Omega$，因此$P(\overline{AB}) = P(\Omega) = 1 \neq 0$。
    结论：错误。

选项B：$P(AB) = P(A)P(B)$

  • 关键推导：
    $P(AB) = P(\emptyset) = 0$，但$P(A)P(B)$不一定为0（除非$P(A)=0$或$P(B)=0$）。
    结论：错误。

选项C：$P(A) = 1 - P(B)$

  • 关键推导：
    互不相容仅说明$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$，但无法推出$P(A) + P(B) = 1$（除非$A \cup B = \Omega$，但题目未给出此条件）。
    结论：错误。

选项D：$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 1$

  • 关键推导：
    根据德摩根定律，$\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$。由于$A \cap B = \emptyset$，故$\overline{A \cap B} = \Omega$，因此$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(\Omega) = 1$。
    结论：正确。