题目

3.曲线y=x^5在x=1处的切线方程为____.

3.曲线$y=x^{5}$在x=1处的切线方程为____.

题目解答

答案

  1. 求导数：
    $ y = x^5 $ 的导数为 $ y' = 5x^4 $。

  2. 计算斜率：
    在 $ x = 1 $ 处，斜率 $ k = y'(1) = 5 $。

  3. 确定切点：
    切点坐标为 $ (1, 1) $，因为 $ y(1) = 1^5 = 1 $。

  4. 写出切线方程：
    使用点斜式方程 $ y - y_1 = k(x - x_1) $，代入切点和斜率得：
    $y - 1 = 5(x - 1) \implies y = 5x - 4$

答案：$\boxed{y = 5x - 4}$（或$\boxed{5x - y - 4 = 0}$）

解析

本题考查导数的几何意义以及直线的点斜式方程。解题思路是先对给定的曲线函数求导，得到导函数，导函数在某点的值就是曲线在该点处切线的斜率。然后根据给定的$x$值求出切点的坐标，最后利用直线的点斜式方程求出切线方程。

  1. 求曲线$y = x^5$的导数：
    根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，对于$y = x^5$，其导数$y^\prime = 5x^{5 - 1}=5x^4$。
  2. 计算切线的斜率：
    要求曲线在$x = 1$处的切线斜率，将$x = 1$代入导函数$y^\prime = 5x^4$中，可得$k=y^\prime(1)=5\times1^4 = 5$。
  3. 确定切点坐标：
    已知$x = 1$，将其代入原曲线方程$y = x^5$，可得$y(1)=1^5 = 1$，所以切点坐标为$(1,1)$。
  4. 写出切线方程：
    直线的点斜式方程为$y - y_1 = k(x - x_1)$（其中$(x_1,y_1)$为直线上一点的坐标，$k$为直线的斜率）。
    把切点$(1,1)$和斜率$k = 5$代入点斜式方程，得到$y - 1 = 5(x - 1)$。
    对其进行化简：
    $\begin{align*}y - 1 &= 5(x - 1)\\y - 1 &= 5x - 5\\y&=5x - 5 + 1\\y&=5x - 4\end{align*}$
    也可将其化为一般式$5x - y - 4 = 0$。