题目
[例5.43](2010年数学三;4分)设位于曲线 =dfrac (1)(sqrt {x(1+{ln )^2x)}}(eleqslant xlt +infty ) 下方,-|||-x轴上方的无界区域为G,则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为 __ .
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定旋转体体积的积分表达式
旋转体的体积可以通过积分来计算，对于绕x轴旋转的曲线 $y=f(x)$，其体积 $V$ 可以表示为：
$$
V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx
$$
其中，$a$ 和 $b$ 是积分的上下限。对于本题，$f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x(1+\ln^2 x)}}$，积分的下限为 $e$，上限为 $+\infty$。
步骤 2：计算积分
将 $f(x)$ 代入体积公式，得到：
$$
V = \pi \int_{e}^{+\infty} \left(\dfrac{1}{\sqrt{x(1+\ln^2 x)}}\right)^2 dx = \pi \int_{e}^{+\infty} \dfrac{1}{x(1+\ln^2 x)} dx
$$
为了计算这个积分，我们进行变量替换，设 $u = \ln x$，则 $du = \dfrac{1}{x} dx$。当 $x = e$ 时，$u = 1$；当 $x \to +\infty$ 时，$u \to +\infty$。因此，积分变为：
$$
V = \pi \int_{1}^{+\infty} \dfrac{1}{1+u^2} du
$$
步骤 3：计算积分结果
积分 $\int \dfrac{1}{1+u^2} du$ 的结果是 $\arctan u$，因此：
$$
V = \pi \left[\arctan u\right]_{1}^{+\infty} = \pi \left(\arctan (+\infty) - \arctan 1\right) = \pi \left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\pi^2}{4}
$$
旋转体的体积可以通过积分来计算，对于绕x轴旋转的曲线 $y=f(x)$，其体积 $V$ 可以表示为：
$$
V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx
$$
其中，$a$ 和 $b$ 是积分的上下限。对于本题，$f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x(1+\ln^2 x)}}$，积分的下限为 $e$，上限为 $+\infty$。
步骤 2：计算积分
将 $f(x)$ 代入体积公式，得到：
$$
V = \pi \int_{e}^{+\infty} \left(\dfrac{1}{\sqrt{x(1+\ln^2 x)}}\right)^2 dx = \pi \int_{e}^{+\infty} \dfrac{1}{x(1+\ln^2 x)} dx
$$
为了计算这个积分，我们进行变量替换，设 $u = \ln x$，则 $du = \dfrac{1}{x} dx$。当 $x = e$ 时，$u = 1$；当 $x \to +\infty$ 时，$u \to +\infty$。因此，积分变为：
$$
V = \pi \int_{1}^{+\infty} \dfrac{1}{1+u^2} du
$$
步骤 3：计算积分结果
积分 $\int \dfrac{1}{1+u^2} du$ 的结果是 $\arctan u$，因此：
$$
V = \pi \left[\arctan u\right]_{1}^{+\infty} = \pi \left(\arctan (+\infty) - \arctan 1\right) = \pi \left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\pi^2}{4}
$$