题目
[2014年] 当x→0+时,若lnα(1+2x),(1一cosx)1/α均是比x高阶的无穷小,则α的取值范围是( ).A. (2,+∞)B. (1,2)C. (1/2,1)D. (0,1/2)
[2014年] 当x→0+时,若lnα(1+2x),(1一cosx)1/α均是比x高阶的无穷小,则α的取值范围是( ).
A. (2,+∞)
B. (1,2)
C. (1/2,1)
D. (0,1/2)
题目解答
答案
B. (1,2)
解析
步骤 1：分析lnα(1+2x)的高阶无穷小条件
当x→0+时，ln(1+2x)的泰勒展开式为2x - (2x)^2/2 + O(x^3)。因此，lnα(1+2x) = αln(1+2x) = α(2x - (2x)^2/2 + O(x^3))。要使lnα(1+2x)是比x高阶的无穷小，即lnα(1+2x) = o(x)，则α(2x) = o(x)，即α > 1。
步骤 2：分析(1一cosx)1/α的高阶无穷小条件
当x→0+时，cosx的泰勒展开式为1 - x^2/2 + O(x^4)。因此，(1一cosx)1/α = (x^2/2 + O(x^4))1/α。要使(1一cosx)1/α是比x高阶的无穷小，即(1一cosx)1/α = o(x)，则(x^2/2)1/α = o(x)，即α < 2。
步骤 3：综合两个条件
综合步骤1和步骤2的条件，得到α的取值范围是(1,2)。
当x→0+时，ln(1+2x)的泰勒展开式为2x - (2x)^2/2 + O(x^3)。因此，lnα(1+2x) = αln(1+2x) = α(2x - (2x)^2/2 + O(x^3))。要使lnα(1+2x)是比x高阶的无穷小，即lnα(1+2x) = o(x)，则α(2x) = o(x)，即α > 1。
步骤 2：分析(1一cosx)1/α的高阶无穷小条件
当x→0+时，cosx的泰勒展开式为1 - x^2/2 + O(x^4)。因此，(1一cosx)1/α = (x^2/2 + O(x^4))1/α。要使(1一cosx)1/α是比x高阶的无穷小，即(1一cosx)1/α = o(x)，则(x^2/2)1/α = o(x)，即α < 2。
步骤 3：综合两个条件
综合步骤1和步骤2的条件，得到α的取值范围是(1,2)。