三、判断题（共11题，22.0分）37.（判断题，2.0分）已知f(x,y)=}(x^2+y^2)sin(1)/(x^2)+y^(2),&x^2+y^2neq00,&x^2+y^2=0在（0,0）可微，则该二元函数在（0,0）的偏导数一定连续：（）A 对B 错

考查要点：本题主要考查二元函数可微性与偏导数连续性的关系，以及如何通过具体例子理解两者之间的区别。

解题核心思路：

1. 可微与偏导数存在：若函数在某点可微，则该点的偏导数一定存在，但反之不成立。
2. 偏导数连续的定义：偏导数在某点连续要求当点趋近于该点时，偏导数的值趋近于该点的偏导数值。
3. 关键矛盾点：即使函数在某点可微，若偏导数在该点附近不连续，则原命题不成立。

破题关键：

• 计算偏导数在（0,0）处的值；
• 分析偏导数沿不同路径趋近于（0,0）时的极限是否存在，从而判断连续性。

计算偏导数在（0,0）处的值

根据定义：

• $f_x(0,0)$：
  $f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin \frac{1}{h^2}}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin \frac{1}{h^2} = 0$
  （因$h \to 0$且$\sin$函数有界，极限为0）

• $f_y(0,0)$：
  $f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{k^2 \sin \frac{1}{k^2}}{k} = \lim_{k \to 0} k \sin \frac{1}{k^2} = 0$

分析偏导数的连续性

对于$(x,y) \neq (0,0)$，计算$f_x(x,y)$：
$f_x(x,y) = 2x \sin \frac{1}{x^2 + y^2} - \frac{2x \cos \frac{1}{x^2 + y^2}}{x^2 + y^2}$

沿路径$y=0$趋近于$(0,0)$：
令$y=0$，则$f_x(x,0) = 2x \sin \frac{1}{x^2} - \frac{2x \cos \frac{1}{x^2}}{x^2}$。
当$x \to 0$时：

• 第一项$2x \sin \frac{1}{x^2} \to 0$（同理如偏导数计算）；
• 第二项$-\frac{2 \cos \frac{1}{x^2}}{x}$的绝对值趋于无穷大（因$\cos \frac{1}{x^2}$振荡于$[-1,1]$，分母$x \to 0$）。

因此，$\lim_{x \to 0} f_x(x,0)$不存在，说明$f_x(x,y)$在$(0,0)$处不连续。