iint_(D) (y^2)/(sqrt(x^2 + y^2)) , dx = ( ), 其中 D 是环形区域:a^2 leq x^2 + y^2 leq b^2。 A. (pi)/(3) (b^3 - a^3)B. (2pi)/(3) (b^3 - a^3)C. (pi)/(3) (b^3 + a^3)D. (2pi)/(3) (b^3 + a^3)

考查要点：本题主要考查二重积分在极坐标系下的计算，涉及积分区域的转换、被积函数的化简以及分步积分法的应用。

解题核心思路：

1. 极坐标转换：环形区域 $D$ 在极坐标下更易处理，$x^2 + y^2 = r^2$，面积元素变为 $r \, dr \, d\theta$。
2. 被积函数化简：利用极坐标表达式 $y = r \sin \theta$，将被积函数转化为关于 $r$ 和 $\theta$ 的形式。
3. 分步积分：先对 $r$ 积分，再对 $\theta$ 积分，利用三角函数的积分公式简化计算。

破题关键点：

• 正确转换极坐标，明确积分限 $a \leq r \leq b$ 和 $0 \leq \theta \leq 2\pi$。
• 化简被积函数时注意分母 $\sqrt{x^2 + y^2}$ 对应 $r$，分子 $y^2$ 对应 $r^2 \sin^2 \theta$。
• 分步积分时，先处理 $r$ 的多项式积分，再利用 $\sin^2 \theta$ 的积分公式。

将积分区域 $D$ 转换为极坐标系，其中 $a \leq r \leq b$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。被积函数 $\frac{y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ 在极坐标下化简为 $r \sin^2 \theta$，面积元素为 $r \, dr \, d\theta$。因此，积分表达式为：

$\int_{0}^{2\pi} \int_{a}^{b} r^2 \sin^2 \theta \, dr \, d\theta$

分步计算：

1. 对 $r$ 积分：
   $\int_{a}^{b} r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{a}^{b} = \frac{b^3 - a^3}{3}$

2. 对 $\theta$ 积分：
   利用 $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$，得：
   $\int_{0}^{2\pi} \sin^2 \theta \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \left[ \theta - \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_{0}^{2\pi} = \pi$

3. 合并结果：
   两部分相乘得：
   $\frac{b^3 - a^3}{3} \cdot \pi = \frac{\pi}{3} (b^3 - a^3)$