(12)[2012，三]求极限lim_(xto0)(e^x^(2)-e^2-2cos x)/(x^4).

本题考查利用泰勒展开式求极限的知识点。解题思路是先将分子中的$e^{x^{2}}$和$e^{2 - 2\cos x}$分别进行泰勒展开，然后将展开式代入原式分子，化简后再求极限。

步骤一：对$e^{x^{2}}$进行泰勒展开

根据指数函数$e^t$的泰勒展开式$e^t = 1 + t + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^3}{3!} + \cdots$，令$t = x^2$，可得：
$e^{x^{2}} = 1 + x^2 + \frac{(x^2)^2}{2!} + O(x^6)= 1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + O(x^6)$

步骤二：对$e^{2 - 2\cos x}$进行泰勒展开

• 先对$\cos x$进行泰勒展开，根据余弦函数$\cos x$的泰勒展开式$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$，可得：
  $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$
• 则$2 - 2\cos x = 2 - 2(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)) = x^2 - \frac{x^4}{12} + O(x^6)$
• 令$t = x^2 - \frac{x^4}{12} + O(x^6)$，再对$e^{2 - 2\cos x}=e^{x^2 - \frac{x^4}{12} + O(x^6)}$进行计算，可将其变形为$e^{2 - 2\cos x}=e^{x^2}\cdot e^{-\frac{x^4}{12} + O(x^6)}$
  • 已知$e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + O(x^6)$
  • 对$e^{-\frac{x^4}{12} + O(x^6)}$，令$u = -\frac{x^4}{12} + O(x^6)$，根据$e^u = 1 + u + O(u^2)$，可得$e^{-\frac{x^4}{12} + O(x^6)} = 1 - \frac{x^4}{12} + O(x^6)$
  • 所以$e^{2 - 2\cos x}=(1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + O(x^6))(1 - \frac{x^4}{12} + O(x^6))$
  • 展开可得$e^{2 - 2\cos x}=1 + x^2 + \frac{x^4}{2} - \frac{x^4}{12} + O(x^6)= 1 + x^2 + \frac{5x^4}{12} + O(x^6)$

步骤三：计算分子$e^{x^{2}} - e^{2 - 2\cos x}$

将$e^{x^{2}} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + O(x^6)$和$e^{2 - 2\cos x} = 1 + x^2 + \frac{5x^4}{12} + O(x^6)$代入可得：
$e^{x^{2}} - e^{2 - 2\cos x}=(1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + O(x^6))-(1 + x^2 + \frac{5x^4}{12} + O(x^6))=\frac{x^4}{2}-\frac{5x^4}{12}+O(x^6)=\frac{x^4}{12} + O(x^6)$

步骤四：求极限$\lim_{x\to0}\frac{e^{x^{2}} - e^{2 - 2\cos x}}{x^{4}}$

将$e^{x^{2}} - e^{2 - 2\cos x}=\frac{x^4}{12} + O(x^6)$代入原式可得：
$\lim_{x\to0}\frac{e^{x^{2}} - e^{2 - 2\cos x}}{x^{4}}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^4}{12} + O(x^6)}{x^{4}}=\lim_{x\to0}(\frac{1}{12}+\frac{O(x^6)}{x^4})=\frac{1}{12}$