题目
二、(10分)计算 (int )_(0)^+infty (e)^-2x|sin x|dx
题目解答
答案
解析
步骤 1：分段积分
由于 $|\sin x|$ 在每个区间 $[n\pi, (n+1)\pi]$ 上的值为 $\sin x$ 或 $-\sin x$，我们首先将积分区间 $[0, +\infty)$ 分成无数个长度为 $\pi$ 的区间，即 $[0, \pi], [\pi, 2\pi], [2\pi, 3\pi], \ldots$。这样，我们可以将原积分写成无穷级数的形式。
步骤 2：计算每个区间的积分
在每个区间 $[n\pi, (n+1)\pi]$ 上，$|\sin x|$ 的值为 $\sin x$ 或 $-\sin x$，因此我们可以计算每个区间的积分。由于 $\sin x$ 在每个区间上都是正的，我们可以将 $|\sin x|$ 替换为 $\sin x$，然后计算积分。
步骤 3：求和
将每个区间的积分求和，得到原积分的值。由于每个区间的积分值相同，我们可以将无穷级数简化为一个简单的求和问题。
步骤 4：求极限
由于原积分是一个无穷级数，我们需要求出这个无穷级数的极限，以得到原积分的值。我们可以使用夹逼准则来求出这个极限。
由于 $|\sin x|$ 在每个区间 $[n\pi, (n+1)\pi]$ 上的值为 $\sin x$ 或 $-\sin x$，我们首先将积分区间 $[0, +\infty)$ 分成无数个长度为 $\pi$ 的区间，即 $[0, \pi], [\pi, 2\pi], [2\pi, 3\pi], \ldots$。这样，我们可以将原积分写成无穷级数的形式。
步骤 2：计算每个区间的积分
在每个区间 $[n\pi, (n+1)\pi]$ 上，$|\sin x|$ 的值为 $\sin x$ 或 $-\sin x$，因此我们可以计算每个区间的积分。由于 $\sin x$ 在每个区间上都是正的，我们可以将 $|\sin x|$ 替换为 $\sin x$，然后计算积分。
步骤 3：求和
将每个区间的积分求和，得到原积分的值。由于每个区间的积分值相同，我们可以将无穷级数简化为一个简单的求和问题。
步骤 4：求极限
由于原积分是一个无穷级数，我们需要求出这个无穷级数的极限，以得到原积分的值。我们可以使用夹逼准则来求出这个极限。