3.对于函数y=sin(tan x)-tan(sin x)(0le xle pi)，x=(pi)/(2)是____. (A.)连续点 (B.)第一类间断点 (C.)可去间断点 (D.)第二类间断点

为了确定函数 $ y = \sin(\tan x) - \tan(\sin x) $ 在 $ x = \frac{\pi}{2} $ 处的性质，我们需要分析函数在该点的连续性。具体来说，我们需要检查函数在 $ x = \frac{\pi}{2} $ 处是否有定义，以及函数在该点的极限是否存在。 1. **检查函数在 $ x = \frac{\pi}{2} $ 处是否有定义：** - 计算 $ \tan\left(\frac{\pi}{2}\right) $：正切函数在 $ x = \frac{\pi}{2} $ 处没有定义，因为 $ \tan\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)} = \frac{1}{0} $，这在数学上是未定义的。 - 由于 $ \tan\left(\frac{\pi}{2}\right) $ 未定义， $ \sin\left(\tan\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) $ 也未定义。 - 计算 $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) $： $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $。 - 计算 $ \tan\left(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) $： $ \tan(1) $ 是定义的（虽然它是一个特定的值，但它是有限的）。 - 由于 $ \sin\left(\tan\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) $ 未定义，函数 $ y = \sin(\tan x) - \tan(\sin x) $ 在 $ x = \frac{\pi}{2} $ 处未定义。 2. **检查函数在 $ x = \frac{\pi}{2} $ 处的极限：** - 我们需要找到 $ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \sin(\tan x) - \tan(\sin x) $。 - 首先，考虑 $ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \sin(\tan x) $。当 $ x $ 从左边接近 $ \frac{\pi}{2} $ 时， $ \tan x $ 接近 $ +\infty $。正弦函数在 $ +\infty $ 处在 -1 和 1 之间振荡，因此 $ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \sin(\tan x) $ 不存在。 - 当 $ x $ 从右边接近 $ \frac{\pi}{2} $ 时， $ \tan x $ 接近 $ -\infty $。正弦函数在 $ -\infty $ 处也在 -1 和 1 之间振荡，因此 $ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \sin(\tan x) $ 不存在。 - 由于 $ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \sin(\tan x) $ 不存在， $ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \sin(\tan x) - \tan(\sin x) $ 也不存在。 由于函数在 $ x = \frac{\pi}{2} $ 处未定义，且在 $ x = \frac{\pi}{2} $ 处的极限不存在， $ x = \frac{\pi}{2} $ 是函数的第二类间断点。 因此，正确答案是 $\boxed{\text{D}}$。