题目
4.当 arrow 0 时,将无穷小量 alpha =sin (x)^3, beta =sqrt (1+{x)^2}-1 =ln (1-2x)-|||-排列,使排在后面的是前面的高阶无穷小,则排列正确的是 ()-|||-A.α,β,y-|||-B. Y,α,β-|||-3宁专升本考试网-|||-C.α,Y,β WWW-|||-D.Y,β,α
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析无穷小量的阶数
- 当 $x \to 0$ 时，$\sin x^3$ 与 $x^3$ 是等价无穷小，因为 $\sin x^3 \sim x^3$。
- 当 $x \to 0$ 时，$\sqrt{1+x^2} - 1$ 可以用泰勒展开式来分析，$\sqrt{1+x^2} = 1 + \frac{1}{2}x^2 + o(x^2)$，所以 $\sqrt{1+x^2} - 1 \sim \frac{1}{2}x^2$。
- 当 $x \to 0$ 时，$\ln(1-2x)$ 与 $-2x$ 是等价无穷小，因为 $\ln(1-2x) \sim -2x$。
步骤 2：比较无穷小量的阶数
- $\sin x^3$ 的阶数为 $x^3$。
- $\sqrt{1+x^2} - 1$ 的阶数为 $x^2$。
- $\ln(1-2x)$ 的阶数为 $x$。
步骤 3：排列无穷小量
- 由于 $x^3$ 的阶数高于 $x^2$，$x^2$ 的阶数高于 $x$，所以排列顺序为 $\sin x^3$，$\sqrt{1+x^2} - 1$，$\ln(1-2x)$。
- 当 $x \to 0$ 时，$\sin x^3$ 与 $x^3$ 是等价无穷小，因为 $\sin x^3 \sim x^3$。
- 当 $x \to 0$ 时，$\sqrt{1+x^2} - 1$ 可以用泰勒展开式来分析，$\sqrt{1+x^2} = 1 + \frac{1}{2}x^2 + o(x^2)$，所以 $\sqrt{1+x^2} - 1 \sim \frac{1}{2}x^2$。
- 当 $x \to 0$ 时，$\ln(1-2x)$ 与 $-2x$ 是等价无穷小，因为 $\ln(1-2x) \sim -2x$。
步骤 2：比较无穷小量的阶数
- $\sin x^3$ 的阶数为 $x^3$。
- $\sqrt{1+x^2} - 1$ 的阶数为 $x^2$。
- $\ln(1-2x)$ 的阶数为 $x$。
步骤 3：排列无穷小量
- 由于 $x^3$ 的阶数高于 $x^2$，$x^2$ 的阶数高于 $x$，所以排列顺序为 $\sin x^3$，$\sqrt{1+x^2} - 1$，$\ln(1-2x)$。