题目
曲线族 x^2+Cy^2=1(C 为任意常数)满足的微分方程为() A. xy+(1-x^2)y'=0 B. xy+(1+x^2)y'=0 C. xy+(1-x)y'=0 D. xy-(1-x^2)y'=0
$$ 曲线族 $x^{2}+Cy^{2}=1$($C $为任意常数)满足的微分方程为() $$
- A. $$ $xy+(1-x^{2})y'=0$ $$
- B. $$ $xy+(1+x^{2})y'=0$ $$
- C. $xy+(1-x)y'=0 $
- D. $$ $xy-(1-x^{2})y'=0$ $$
题目解答
答案
A
解析
步骤 1：对给定的曲线族进行求导
给定曲线族为 $x^{2}+Cy^{2}=1$，其中 $C$ 为任意常数。对两边关于 $x$ 求导，得到 $2x + 2Cy\frac{dy}{dx} = 0$，即 $x + Cy\frac{dy}{dx} = 0$。
步骤 2：整理得到微分方程
将 $y'$ 代入上式，得到 $x + Cy'y = 0$，即 $xy' + Cy = 0$。由于 $C$ 是任意常数，我们可以将 $C$ 用 $1-x^{2}$ 替换，得到 $xy' + (1-x^{2})y = 0$。
步骤 3：选择正确的选项
根据步骤 2 的结果，我们可以看出选项 A 是正确的，即 $xy + (1-x^{2})y' = 0$。
给定曲线族为 $x^{2}+Cy^{2}=1$，其中 $C$ 为任意常数。对两边关于 $x$ 求导，得到 $2x + 2Cy\frac{dy}{dx} = 0$，即 $x + Cy\frac{dy}{dx} = 0$。
步骤 2：整理得到微分方程
将 $y'$ 代入上式，得到 $x + Cy'y = 0$，即 $xy' + Cy = 0$。由于 $C$ 是任意常数，我们可以将 $C$ 用 $1-x^{2}$ 替换，得到 $xy' + (1-x^{2})y = 0$。
步骤 3：选择正确的选项
根据步骤 2 的结果，我们可以看出选项 A 是正确的，即 $xy + (1-x^{2})y' = 0$。