求由直线 _(1):dfrac (x-1)(1)=dfrac (y-1)(3)=dfrac (z-1)(1) 和直线L2: ) x=1+t y=1+2t z=1+3t . 所确定的平面方程.

本题考查的知识点是由两条直线确定平面方程，解题思路如下：

1. 首先，需要从已知的直线方程中找出两条直线的方向向量。对于直线的对称式方程$\frac{x - x_0}{m}=\frac{y - y_0}{n}=\frac{z - z_0}{p}$，其方向向量为$\vec{s}=(m,n,p)$；对于直线的参数式方程$\left\{\begin{array}{l}x = x_0+mt\\y = y_0+nt\\z = z_0+pt\end{array}\right.$，其方向向量同样为$\vec{s}=(m,n,p)$。
2. 然后，根据向量叉乘的性质，平面的法向量$\vec{n}$等于两条直线方向向量的叉积，即$\vec{n}=\vec{s_1}\times\vec{s_2}$。设$\vec{s_1}=(m_1,n_1,p_1)$，$\vec{s_2}=(m_2,n_2,p_2)$，则$\vec{n}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\m_1&n_1&p_1\\m_2&n_2&p_2\end{array}\right|=\vec{i}(n_1p_2 - n_2p_1)-\vec{j}(m_1p_2 - m_2p_1)+\vec{k}(m_1n_2 - m_2n_1)$。
3. 最后，利用平面的点法式方程$A(x - x_0)+B(y - y_0)+C(z - z_0)=0$（其中$(A,B,C)$为平面法向量，$(x_0,y_0,z_0)$为平面上一点）来确定平面方程。由于两条直线都过点$(1,1,1)$，所以可以取该点作为平面上的一点。

下面进行详细的解答：

• 步骤一：求直线$L_1$和$L_2$的方向向量
  • 直线$L_1:\frac{x - 1}{1}=\frac{y - 1}{3}=\frac{z - 1}{1}$，其方向向量$\vec{s_1}=(1,3,1)$。
  • 直线$L_2:\left\{\begin{array}{l}x = 1+t\\y = 1+2t\\z = 1+3t\end{array}\right.$，其方向向量$\vec{s_2}=(1,2,3)$。
• 步骤二：求平面的法向量$\vec{n}$
  根据向量叉乘公式$\vec{n}=\vec{s_1}\times\vec{s_2}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&3&1\\1&2&3\end{array}\right|$
  $\begin{align*}\vec{n}&=\vec{i}(3\times3 - 2\times1)-\vec{j}(1\times3 - 1\times1)+\vec{k}(1\times2 - 1\times3)\\&=\vec{i}(9 - 2)-\vec{j}(3 - 1)+\vec{k}(2 - 3)\\&=7\vec{i}-2\vec{j}-\vec{k}\\&=(7,-2,-1)\end{align*}$
• 步骤三：求平面方程
  已知平面过点$(1,1,1)$，法向量$\vec{n}=(7,-2,-1)$，根据平面的点法式方程$A(x - x_0)+B(y - y_0)+C(z - z_0)=0$，可得：
  $7(x - 1)+(-2)(y - 1)+(-1)(z - 1)=0$
  展开式子得：
  $\begin{align*}7x-7-2y + 2-z + 1&=0\\7x-2y-z-4&=0\\7x-2y-z&=4\end{align*}$