设二维随机变量 (X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)= } 6xy, & 0 A. 1/4B. 1/3C. 1/2D. 3/4

本题考查二维随机变量的概率计算，解题思路是根据联合概率密度函数，通过二重积分来计算满足条件 $X + Y < 1$ 的概率。

步骤一：确定积分区域

已知联合概率密度函数 $f(x,y)$ 的定义域为 $0 < x < 1$，$0 < y < 1$，同时要满足条件 $X + Y < 1$。
联立不等式组 $\begin{cases}0 < x < 1 \\ 0 < y < 1 \\ x + y < 1\end{cases}$，其积分区域 $D$ 是由直线 $x = 0$，$y = 0$ 和 $x + y = 1$ 所围成的三角形区域。
在这个区域内，$x$ 的取值范围是 $0 < x < 1$，对于每个固定的 $x$，$y$ 的取值范围是 $0 < y < 1 - x$。

步骤二：根据概率计算公式计算概率

对于二维随机变量 $(X,Y)$，$P((X,Y)\in D)=\iint_D f(x,y)dxdy$，这里 $D$ 是满足 $X + Y < 1$ 的区域，$f(x,y)=6xy$。
所以 $P(X + Y < 1)=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1 - x}6xy dy$。

步骤三：先对 $y$ 积分

$\int_{0}^{1 - x}6xy dy=6x\int_{0}^{1 - x}y dy$
根据积分公式 $\int y^n dy=\frac{1}{n + 1}y^{n+1}+C(n\neq - 1)$，可得：
$6x\int_{0}^{1 - x}y dy=6x\cdot[\frac{1}{2}y^2]_0^{1 - x}=3x(1 - x)^2$

步骤四：再对 $x$ 积分

$P(X + Y < 1)=\int_{0}^{1}3x(1 - x)^2dx$
先将 $(1 - x)^2$ 展开：$(1 - x)^2=1 - 2x+x^2$，则 $3x(1 - x)^2=3x(1 - 2x+x^2)=3x-6x^2 + 3x^3$。
所以 $\int_{0}^{1}(3x-6x^2 + 3x^3)dx=\int_{0}^{1}3x dx-\int_{0}^{1}6x^2 dx+\int_{0}^{1}3x^3 dx$
分别计算各项积分：

• $\int_{0}^{1}3x dx=3\cdot[\frac{1}{2}x^2]_0^1=\frac{3}{2}$
• $\int_{0}^{1}6x^2 dx=6\cdot[\frac{1}{3}x^3]_0^1 = 2$
• $\int_{0}^{1}3x^3 dx=3\cdot[\frac{1}{4}x^4]_0^1=\frac{3}{4}$

则 $P(X + Y < 1)=\frac{3}{2}-2+\frac{3}{4}=\frac{6 - 8+3}{4}=\frac{1}{4}$