题目

填空题（共5题，15.0分）25.（3.0分）int_(1)^3(3)/(2)xdx=第一空请输入答案

填空题（共5题，15.0分） 25.（3.0分）$\int_{1}^{3}\frac{3}{2}xdx=$ 第一空 请输入答案

题目解答

答案

为了计算定积分 $\int_{1}^{3}\frac{3}{2}xdx$，我们可以按照以下步骤进行： 1. **找到被积函数的原函数：** 被积函数是 $\frac{3}{2}x$。我们知道 $x$ 的原函数是 $\frac{x^2}{2}$。因此，$\frac{3}{2}x$ 的原函数是 $\frac{3}{2} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{3x^2}{4}$。 2. **应用微积分基本定理：** 微积分基本定理 states $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$，其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数。这里，$F(x) = \frac{3x^2}{4}$，$a = 1$，$b = 3$。所以，我们有： \[ \int_{1}^{3}\frac{3}{2}xdx = \left. \frac{3x^2}{4} \right|_{1}^{3} = \frac{3 \cdot 3^2}{4} - \frac{3 \cdot 1^2}{4} = \frac{3 \cdot 9}{4} - \frac{3 \cdot 1}{4} = \frac{27}{4} - \frac{3}{4} = \frac{24}{4} = 6 \] 因此，答案是 $\boxed{6}$。

解析

考查要点：本题主要考查定积分的计算，涉及幂函数的积分法则和牛顿-莱布尼兹公式的应用。

解题核心思路：

  1. 确定被积函数的原函数：利用幂函数积分规则，将$\frac{3}{2}x$的原函数求出。
  2. 代入上下限计算：通过牛顿-莱布尼兹公式，将积分上下限代入原函数并作差。

破题关键点：

  • 正确应用积分法则：注意系数$\frac{3}{2}$与积分结果的结合。
  • 准确代入数值：避免在代入上下限时出现计算错误。

步骤1：求原函数
被积函数为$\frac{3}{2}x$，根据幂函数积分法则$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，得：
$\int \frac{3}{2}x \, dx = \frac{3}{2} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{3x^2}{4} + C$

步骤2：应用牛顿-莱布尼兹公式
将原函数代入上下限$3$和$1$，并作差：
$\begin{aligned}\int_{1}^{3} \frac{3}{2}x \, dx &= \left. \frac{3x^2}{4} \right|_{1}^{3} \\&= \frac{3 \cdot 3^2}{4} - \frac{3 \cdot 1^2}{4} \\&= \frac{27}{4} - \frac{3}{4} \\&= \frac{24}{4} = 6\end{aligned}$