题目

三.填空题1.tau(326145)=____.

三.填空题 1.$\tau(326145)=$____.

题目解答

答案

将 $326145$ 进行质因数分解：
$326145 = 3 \times 5 \times 17 \times 1279$
其中，$1279$ 为质数。
根据除数个数公式 $\tau(n) = (e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_k+1)$，其中 $n = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}$，得：
$\tau(326145) = (1+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 16$
答案： $\boxed{16}$

解析

本题考查的知识点是正整数的质因数分解以及除数个数公式的应用。解题思路如下：

  1. 首先，需要对给定的正整数 $n = 326145$ 进行质因数分解，将其表示为 $n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}$ 的形式，其中 $p_i$ 是质数，$e_i$ 是它们的指数。
  2. 然后，根据除数个数公式 $\tau(n)=(e_1 + 1)(e_2+1)\cdots(e_k + 1)$ 来计算 $n$ 的正除数个数。

下面进行详细的计算：

  1. 质因数分解：
    • 对 $326145$ 进行分解，从最小的质数开始尝试。
    • $326145\div3 = 108715$，所以 $3$ 是 $326145$ 的一个质因数。
    • $108715\div5=21743$，所以 $5$ 是 $326145$ 的一个质因数。
    • $21743\div17 = 1279$，所以 $17$ 是 $326145$ 的一个质因数。
    • 经过检验，$1279$ 是质数。
    • 因此，$326145=3^1\times5^1\times17^1\times1279^1$。
  2. 计算除数个数：
    • 这里 $e_1 = 1$（对应质因数 $3$），$e_2=1$（对应质因数 $5$），$e_3 = 1$（对应质因数 $17$），$e_4=1$（对应质因数 $1279$）。
    • 根据除数个数公式 $\tau(n)=(e_1 + 1)(e_2+1)(e_3 + 1)(e_4+1)$。
    • 代入指数可得：$\tau(326145)=(1 + 1)\times(1+1)\times(1 + 1)\times(1+1)$。
    • 先计算括号内的值：$1 + 1=2$。
    • 再计算乘法：$\tau(326145)=2\times2\times2\times2=16$。