设 A 是 m times n 矩阵，m A. 无解B. 有唯一解C. 有无穷多解D. 无法判断

本题考查线性方程组解的情况判定，需结合矩阵的秩、增广矩阵的秩以及未知数个数之间的关系分析。

关键知识点

对于线性方程组$Ax = b$（$A$为$m \times n$矩阵，$m < n$，即方程个数少于未知数个数），其解的情况由系数矩阵$A$的秩$r(A)$ 和增广矩阵$\overline{A} = [A|b]$的秩$r(\overline{A})$ 共同决定，具体如下：

1. 若$r(A) < r(\overline{A})$：方程组无解；
2. 若$r(A) = r(\overline{A}) = r$：
   • 当$r = n$时，方程组有唯一解；
   • 当$r < n$时，方程组有无穷多解（因自由未知数个数为$n - r \geq 1$）。

题目分析

题目仅给出$m < n$（方程个数少于未知数个数），但未提供$A$的秩和$\overline{A}$的秩的信息，因此无法直接判定解的情况：

• 示例1（无解）：设$A = \begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}$，$b = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$，则$r(A)=1$，$r(\overline{A})=2$，方程组$\begin{cases}x_1=0\\0=1\end{cases}$无解；
• 示例2（无穷多解）：设$A = \begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}$，$b = \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$，则$r(A)=r(\overline{A})=1 < 2$，方程组$x_1=0$（$x_2$自由）有无穷多解；
• 唯一解是否可能？ 当$m < n$时，$r(A) \leq m < n$，故$r(A) \neq n$，因此不可能有唯一解，但题目未排除无解或无穷多解的可能，仅问“哪一项正确”，需判断选项是否恒成立。

选项排除

• A. 无解：不恒成立（如示例2有无穷多解）；
• B. 有唯一解：不可能（$r(A) \leq m < n$）；
• C. 有无穷多解：不恒成立（如示例1无解）；
• D. 无法判断：因解的情况取决于$r(A)$与$r(\overline{A})$，题目未给出，故无法判断，正确。