题目
设X_1, X_2, ..., X_n, ...是独立同分布的随机变量列，且X_i (k=1,2,...)服从参数为lambda的泊松分布，则lim_(n to infty) P(sum_{k=1)^n X_k - nlambda)/(sqrt(nlambda)) leq x}A. Phi(x)B. 1 - Phi(x)C. 2Phi(x)- 1D. 2Phi(x)
设$X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$是独立同分布的随机变量列，且$X_i (k=1,2,\cdots)$服从参数为$\lambda$的泊松分布，则$\lim_{n \to \infty} P\left\{\frac{\sum_{k=1}^n X_k - n\lambda}{\sqrt{n\lambda}} \leq x\right\}$
A. $\Phi(x)$
B. $1 - \Phi(x)$
C. $2\Phi(x)- 1$
D. $2\Phi(x)$
题目解答
答案
A. $\Phi(x)$
解析
步骤 1：确定随机变量的分布和参数
$X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$是独立同分布的随机变量列，且每个$X_i$服从参数为$\lambda$的泊松分布。泊松分布的均值和方差都是$\lambda$。因此，我们有： \[ \mu = \lambda \quad \text{和} \quad \sigma^2 = \lambda. \]
步骤 2：应用中心极限定理
根据中心极限定理，对于一个独立同分布的随机变量序列，每个随机变量的均值为$\mu$，方差为$\sigma^2$，随机变量的和的标准化形式在$n$ tends $\infty$时收敛到标准正态分布。因此，我们有： \[ \lim_{n \to \infty} P\left\{\frac{\sum_{k=1}^{n} X_k - n\mu}{\sigma \sqrt{n}} \leq x\right\} = \Phi(x), \] 其中$\Phi(x)$是标准正态分布的累积分布函数。
步骤 3：代入参数并简化
将$\mu = \lambda$和$\sigma^2 = \lambda$（因此$\sigma = \sqrt{\lambda}$）代入，我们得到： \[ \frac{\sum_{k=1}^{n} X_k - n\lambda}{\sqrt{\lambda} \sqrt{n}} = \frac{\sum_{k=1}^{n} X_k - n\lambda}{\sqrt{n\lambda}}. \] 因此，根据中心极限定理，我们有： \[ \lim_{n \to \infty} P\left\{\frac{\sum_{k=1}^{n} X_k - n\lambda}{\sqrt{n\lambda}} \leq x\right\} = \Phi(x). \]
$X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$是独立同分布的随机变量列，且每个$X_i$服从参数为$\lambda$的泊松分布。泊松分布的均值和方差都是$\lambda$。因此，我们有： \[ \mu = \lambda \quad \text{和} \quad \sigma^2 = \lambda. \]
步骤 2：应用中心极限定理
根据中心极限定理，对于一个独立同分布的随机变量序列，每个随机变量的均值为$\mu$，方差为$\sigma^2$，随机变量的和的标准化形式在$n$ tends $\infty$时收敛到标准正态分布。因此，我们有： \[ \lim_{n \to \infty} P\left\{\frac{\sum_{k=1}^{n} X_k - n\mu}{\sigma \sqrt{n}} \leq x\right\} = \Phi(x), \] 其中$\Phi(x)$是标准正态分布的累积分布函数。
步骤 3：代入参数并简化
将$\mu = \lambda$和$\sigma^2 = \lambda$（因此$\sigma = \sqrt{\lambda}$）代入，我们得到： \[ \frac{\sum_{k=1}^{n} X_k - n\lambda}{\sqrt{\lambda} \sqrt{n}} = \frac{\sum_{k=1}^{n} X_k - n\lambda}{\sqrt{n\lambda}}. \] 因此，根据中心极限定理，我们有： \[ \lim_{n \to \infty} P\left\{\frac{\sum_{k=1}^{n} X_k - n\lambda}{\sqrt{n\lambda}} \leq x\right\} = \Phi(x). \]