题目
设A与一个对角阵相似，则存在正交阵P，使P^-1AP为对角阵.A. 对B. 错
设A与一个对角阵相似，则存在正交阵P，使$P^{-1}AP$为对角阵.
A. 对
B. 错
题目解答
答案
B. 错
解析
步骤 1：相似于对角矩阵
- 一个矩阵$A$与对角矩阵相似，如果存在一个可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP = D$，其中$D$是一个对角矩阵。
- 这意味着$A$的特征值在$D$的对角线上，而$P$的列是$A$的对应特征向量。
步骤 2：正交矩阵
- 一个矩阵$P$是正交的，如果$P^TP = PP^T = I$，其中$I$是单位矩阵。
- 对于正交矩阵$P$，其逆矩阵$P^{-1}$等于其转置$P^T$。因此，$P^{-1}AP = P^TAP$。
步骤 3：正交对角化
- 如果存在正交矩阵$P$，使得$P^{-1}AP = D$（或等价地，$P^TAP = D$），其中$D$是对角矩阵，那么矩阵$A$是正交对角化的。
- 一个矩阵$A$是正交对角化的当且仅当$A$是一个对称矩阵（即，$A^T = A$）。
步骤 4：结论
- 陈述说，如果$A$与对角矩阵相似，那么存在正交矩阵$P$，使得$P^{-1}AP$为对角矩阵。
- 这并不一定正确，因为$A$与对角矩阵相似并不意味着$A$是对称的。存在非对称矩阵与对角矩阵相似，但它们不能被正交对角化。
- 一个矩阵$A$与对角矩阵相似，如果存在一个可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP = D$，其中$D$是一个对角矩阵。
- 这意味着$A$的特征值在$D$的对角线上，而$P$的列是$A$的对应特征向量。
步骤 2：正交矩阵
- 一个矩阵$P$是正交的，如果$P^TP = PP^T = I$，其中$I$是单位矩阵。
- 对于正交矩阵$P$，其逆矩阵$P^{-1}$等于其转置$P^T$。因此，$P^{-1}AP = P^TAP$。
步骤 3：正交对角化
- 如果存在正交矩阵$P$，使得$P^{-1}AP = D$（或等价地，$P^TAP = D$），其中$D$是对角矩阵，那么矩阵$A$是正交对角化的。
- 一个矩阵$A$是正交对角化的当且仅当$A$是一个对称矩阵（即，$A^T = A$）。
步骤 4：结论
- 陈述说，如果$A$与对角矩阵相似，那么存在正交矩阵$P$，使得$P^{-1}AP$为对角矩阵。
- 这并不一定正确，因为$A$与对角矩阵相似并不意味着$A$是对称的。存在非对称矩阵与对角矩阵相似，但它们不能被正交对角化。