题目
下列函数中是奇函数的为( )A、y=cos^3xA、A、A、A、A、A、
下列函数中是奇函数的为( )
$$y=cos^3x$$
题目解答
答案
D
解析
步骤 1：定义奇函数
奇函数的定义是：如果对于函数$f(x)$，对于所有定义域内的$x$，都有$f(-x) = -f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
步骤 2：检验选项A
对于$y = \cos^3x$，计算$y(-x) = \cos^3(-x) = \cos^3x$，因为$\cos(-x) = \cos(x)$，所以$y(-x) = y(x)$，这说明$y = \cos^3x$是偶函数，不是奇函数。
步骤 3：检验选项B
对于$y = x^2 + \sin x$，计算$y(-x) = (-x)^2 + \sin(-x) = x^2 - \sin x$，因为$\sin(-x) = -\sin(x)$，所以$y(-x) \neq -y(x)$，这说明$y = x^2 + \sin x$不是奇函数。
步骤 4：检验选项C
对于$y = \ln(x^2 + x^4)$，计算$y(-x) = \ln((-x)^2 + (-x)^4) = \ln(x^2 + x^4)$，因为$(-x)^2 = x^2$和$(-x)^4 = x^4$，所以$y(-x) = y(x)$，这说明$y = \ln(x^2 + x^4)$是偶函数，不是奇函数。
步骤 5：检验选项D
对于$y = \dfrac{e^x - 1}{e^x + 1}$，计算$y(-x) = \dfrac{e^{-x} - 1}{e^{-x} + 1} = \dfrac{1 - e^x}{1 + e^x} = -\dfrac{e^x - 1}{e^x + 1} = -y(x)$，这说明$y = \dfrac{e^x - 1}{e^x + 1}$是奇函数。
奇函数的定义是：如果对于函数$f(x)$，对于所有定义域内的$x$，都有$f(-x) = -f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
步骤 2：检验选项A
对于$y = \cos^3x$，计算$y(-x) = \cos^3(-x) = \cos^3x$，因为$\cos(-x) = \cos(x)$，所以$y(-x) = y(x)$，这说明$y = \cos^3x$是偶函数，不是奇函数。
步骤 3：检验选项B
对于$y = x^2 + \sin x$，计算$y(-x) = (-x)^2 + \sin(-x) = x^2 - \sin x$，因为$\sin(-x) = -\sin(x)$，所以$y(-x) \neq -y(x)$，这说明$y = x^2 + \sin x$不是奇函数。
步骤 4：检验选项C
对于$y = \ln(x^2 + x^4)$，计算$y(-x) = \ln((-x)^2 + (-x)^4) = \ln(x^2 + x^4)$，因为$(-x)^2 = x^2$和$(-x)^4 = x^4$，所以$y(-x) = y(x)$，这说明$y = \ln(x^2 + x^4)$是偶函数，不是奇函数。
步骤 5：检验选项D
对于$y = \dfrac{e^x - 1}{e^x + 1}$，计算$y(-x) = \dfrac{e^{-x} - 1}{e^{-x} + 1} = \dfrac{1 - e^x}{1 + e^x} = -\dfrac{e^x - 1}{e^x + 1} = -y(x)$，这说明$y = \dfrac{e^x - 1}{e^x + 1}$是奇函数。