设 X = a, b，拓扑 mathcal(T) = X, phi, {a, b}，则 X 的既开又闭的子集的个数为（A. 1B. 2C. 3D. 4

本题考查拓扑空间中既开又闭子集的概念。解题思路是先明确既开又闭子集的定义，即该子集既是拓扑中的元素（开集），其补集也是拓扑中的元素（闭集），然后依次分析拓扑 $\mathcal{T}$ 中每个元素是否满足既开又闭的条件。

已知拓扑空间 $(X, \mathcal{T})$，其中 $X = \{a, b\}$，$\mathcal{T} = \{X, \varnothing, \{a\}, \{b\}\}$。

1. 对于子集 $X = \{a, b\}$：
   • 因为 $X \in \mathcal{T}$，所以 $X$ 是开集。
   • 计算 $X$ 的补集，根据补集定义 $\complement_X X = X - X = \varnothing$，又因为 $\varnothing \in \mathcal{T}$，所以 $X$ 是闭集。
   • 综上，$X$ 是既开又闭的子集。
2. 对于子集 $\varnothing$：
   • 由于 $\varnothing \in \mathcal{T}$，所以 $\varnothing$ 是开集。
   • 计算 $\varnothing$ 的补集，$\complement_X \varnothing = X - \varnothing = \{a, b\}=X$，且 $X \in \mathcal{T}$，所以 $\varnothing$ 是闭集。
   • 因此，$\varnothing$ 是既开又闭的子集。
3. 对于子集 $\{a\}$：
   • 因为 $\{a\} \in \mathcal{T}$，所以 $\{a\}$ 是开集。
   • 计算 $\{a\}$ 的补集，$\complement_X \{a\} = X - \{a\} = \{b\}$，又因为 $\{b\} \in \mathcal{T}$，所以 $\{a\}$ 是闭集。
   • 故 $\{a\}$ 是既开又闭的子集。
4. 对于子集 $\{b\}$：
   • 鉴于 $\{b\} \in \mathcal{T}$，所以 $\{b\}$ 是开集。
   • 计算 $\{b\}$ 的补集，$\complement_X \{b\} = X - \{b\} = \{a\}$，且 $\{a\} \in \mathcal{T}$，所以 $\{b\}$ 是闭集。
   • 所以 $\{b\}$ 是既开又闭的子集。

综上，$X$ 的既开又闭的子集有 $X$，$\varnothing$，$\{a\}$，$\{b\}$，共 4 个。