微分方程(y^2-10x)y'+2y=0的通解为(）。A. 6x-y^2-6Cy^5=0B. 6y-x^2-6Cx^5=0C. 其他选项都不对D. 6y-x^2+6Cx^5=0

本题考查一阶线性微分方程的求解，解题思路是先将给定的微分方程变形为一阶线性微分方程的标准形式，然后利用一阶线性微分方程的通解公式进行求解。

步骤一：将原方程变形为一阶线性微分方程的标准形式

已知原方程$(y^2 - 10x)y' + 2y = 0$，将其变形为$\frac{dx}{dy}$的形式。
由$(y^2 - 10x)y' + 2y = 0$可得$(y^2 - 10x)\frac{dy}{dx} + 2y = 0$，进一步变形为$\frac{dx}{dy}=\frac{10x - y^2}{2y}$，即$\frac{dx}{dy}-\frac{5}{y}x=-\frac{y}{2}$。
此时方程$\frac{dx}{dy}-\frac{5}{y}x=-\frac{y}{2}$是关于$x$的一阶线性微分方程，其标准形式为$\frac{dx}{dy}+P(y)x = Q(y)$，其中$P(y)=-\frac{5}{y}$，$Q(y)=-\frac{y}{2}$。

步骤二：求一阶线性微分方程的通解

根据一阶线性微分方程的通解公式$x = e^{-\int P(y)dy}(\int Q(y)e^{\int P(y)dy}dy + C)$，先计算$e^{\int P(y)dy}$和$e^{-\int P(y)dy}$。

• 计算$\int P(y)dy$：
  $\int P(y)dy=\int -\frac{5}{y}dy=-5\int \frac{1}{y}dy=-5\ln|y|=\ln y^{-5}$（$y\neq0$）
• 计算$e^{\int P(y)dy}$：
  $e^{\int P(y)dy}=e^{\ln y^{-5}} = y^{-5}$
• 计算$e^{-\int P(y)dy}$：
  $e^{-\int P(y)dy}=e^{-\ln y^{-5}} = y^{5}$

步骤三：计算$\int Q(y)e^{\int P(y)dy}dy$

将$Q(y)=-\frac{y}{2}$和$e^{\int P(y)dy}=y^{-5}$代入$\int Q(y)e^{\int P(y)dy}dy$可得：
$\int Q(y)e^{\int P(y)dy}dy=\int (-\frac{y}{2})y^{-5}dy=-\frac{1}{2}\int y^{-4}dy$
根据幂函数积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C$（$n\neq -1$），可得：
$-\frac{1}{2}\int y^{-4}dy=-\frac{1}{2}\times\frac{y^{-4 + 1}}{-4 + 1}+C_1=\frac{1}{6}y^{-3}+C_1$

步骤四：求通解$x$

将$e^{-\int P(y)dy}=y^{5}$和$\int Q(y)e^{\int P(y)dy}dy=\frac{1}{6}y^{-3}+C_1$代入通解公式$x = e^{-\int P(y)dy}(\int Q(y)e^{\int P(y)dy}dy + C)$可得：
$x = y^{5}(\frac{1}{6}y^{-3}+C)=\frac{1}{6}y^{2}+Cy^{5}$
移项可得$6x - y^2 - 6Cy^5 = 0$。