题目
12.求极限lim_(xto0)(1-(cos2x)^2023x)/(2x^3).
12.求极限$\lim_{x\to0}\frac{1-\left(\cos2x\right)^{2023x}}{2x^{3}}.$
题目解答
答案
将原式转换为指数形式：
\[
(\cos 2x)^{2023x} = e^{2023x \ln (\cos 2x)}
\]
利用等价无穷小 $1 - e^u \sim -u$（当 $u \to 0$）：
\[
1 - e^{2023x \ln (\cos 2x)} \sim -2023x \ln (\cos 2x)
\]
原极限化简为：
\[
-\frac{2023}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos 2x)}{x^2}
\]
由泰勒展开 $\cos 2x \approx 1 - 2x^2$，得 $\ln (\cos 2x) \sim \ln(1 - 2x^2) \sim -2x^2$，故：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos 2x)}{x^2} = -2
\]
代入得：
\[
-\frac{2023}{2} \times (-2) = 2023
\]
**答案：** $\boxed{2023}$
解析
考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及指数函数的处理、等价无穷小替换以及泰勒展开的应用。
解题核心思路：
- 指数形式转换：将$(\cos2x)^{2023x}$转换为自然指数形式，便于利用等价无穷小替换。
- 等价无穷小替换：利用$1 - e^u \sim -u$简化分子表达式。
- 泰勒展开：对$\cos2x$和$\ln(1 - t)$进行泰勒展开，求出关键极限$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos2x)}{x^2}$。
破题关键点：
- 识别0/0型不定式，选择合适的方法（如等价无穷小或泰勒展开）。
- 分步化简，将复杂表达式逐步转化为可计算的形式。
步骤1：转换指数形式
将$(\cos2x)^{2023x}$写成自然指数形式：
$(\cos2x)^{2023x} = e^{2023x \ln(\cos2x)}.$
步骤2：应用等价无穷小替换
当$x \to 0$时，$2023x \ln(\cos2x) \to 0$，利用$1 - e^u \sim -u$：
$1 - e^{2023x \ln(\cos2x)} \sim -2023x \ln(\cos2x).$
步骤3：化简原极限
原极限变为：
$\lim_{x \to 0} \frac{-2023x \ln(\cos2x)}{2x^3} = -\frac{2023}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos2x)}{x^2}.$
步骤4：计算$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos2x)}{x^2}$
- 泰勒展开$\cos2x$：
$\cos2x = 1 - 2x^2 + o(x^2).$ - 展开$\ln(\cos2x)$：
$\ln(\cos2x) \approx \ln(1 - 2x^2) \sim -2x^2.$ - 代入极限：
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos2x)}{x^2} = -2.$
步骤5：代入结果
最终结果为：
$-\frac{2023}{2} \times (-2) = 2023.$