方程(dy)/(dx) = e^x-2y的通解是().A. e^2y = Ce^xB. e^2y = 2Ce^xC. e^2y = 2e^x + CD. y = 2x + C

本题考查可分离变量的一阶微分方程的求解。解题思路是先将给定的微分方程进行变量分离，然后对分离后的方程两边分别积分，最后通过化简得到通解。

步骤一：分离变量

已知方程$\frac{dy}{dx} = e^{x - 2y}$，根据指数运算法则$a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$，可将方程变形为$\frac{dy}{dx} = \frac{e^x}{e^{2y}}$。
两边同时乘以$e^{2y}dx$，得到$e^{2y}dy = e^xdx$，此时变量已分离。

步骤二：两边积分

对$e^{2y}dy = e^xdx$两边分别积分：

• 对$\int e^{2y}dy$，令$u = 2y$，则$du = 2dy$，$dy=\frac{1}{2}du$，那么$\int e^{2y}dy=\frac{1}{2}\int e^udu$。
  根据积分公式$\int e^udu = e^u + C_1$，可得$\frac{1}{2}\int e^udu=\frac{1}{2}e^u + C_1=\frac{1}{2}e^{2y} + C_1$。
• 对$\int e^xdx$，根据积分公式$\int e^xdx = e^x + C_2$。

所以$\frac{1}{2}e^{2y} + C_1 = e^x + C_2$。

步骤三：化简通解

令$C = 2(C_2 - C_1)$，则$\frac{1}{2}e^{2y}=e^x+\frac{C}{2}$，两边同时乘以$2$，得到$e^{2y} = 2e^x + C$。