11. (5.0分) 已知二元函数f(x,y)=(x^2+y^2)/(2)，向量vec(a)=(f_(x),f_(y))|_((1,1))，vec(n)=(costheta,sintheta)，thetain[0,2pi]。则函数g(theta)=vec(a)cdotvec(n)的最大值为（）。A. 2sqrt(2)B. 2C. sqrt(2)D. -2

本题考查二元函数的偏导数、向量的数量积以及三角函数的最值问题。解题思路如下：

1. 首先，根据偏导数的求导法则求出函数$f(x,y)$关于$x$和$y$的偏导数$f_{x}$和$f_{y}$。
2. 然后，将点$(1,1)$代入偏导数$f_{x}$和$f_{y}$中，得到向量$\vec{a}$的坐标。
3. 接着，根据向量数量积的坐标运算求出$g(\theta)$的表达式。
4. 最后，利用三角函数的性质求出$g(\theta)$的最大值。

步骤一：求$f(x,y)$的偏导数$f_{x}$和$f_{y}$

已知$f(x,y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{2}$，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，对$x$求偏导数时，将$y$看作常数，则：
$f_{x}=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\frac{2x}{2}=x$
对$y$求偏导数时，将$x$看作常数，则：
$f_{y}=\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\frac{2y}{2}=y$

步骤二：求向量$\vec{a}$的坐标

将点$(1,1)$代入$f_{x}$和$f_{y}$中，可得：
$f_{x}|_{(1,1)} = 1$，$f_{y}|_{(1,1)} = 1$
所以向量$\vec{a}=(1,1)$。

步骤三：求$g(\theta)$的表达式

已知$\vec{a}=(1,1)$，$\vec{n}=(\cos\theta,\sin\theta)$，根据向量数量积的坐标运算公式$\vec{m}=(x_1,y_1)$，$\vec{p}=(x_2,y_2)$，则$\vec{m}\cdot\vec{p}=x_1x_2 + y_1y_2$，可得：
$g(\theta)=\vec{a}\cdot\vec{n}=1\times\cos\theta + 1\times\sin\theta=\cos\theta + \sin\theta$
根据辅助角公式$a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\varphi)$（其中$\tan\varphi=\frac{b}{a}$），对$g(\theta)$进行化简：
$g(\theta)=\cos\theta + \sin\theta=\sqrt{1^2 + 1^2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4})=\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$

步骤四：求$g(\theta)$的最大值

因为$\theta\in[0,2\pi]$，所以$\theta + \frac{\pi}{4}\in[\frac{\pi}{4},\frac{9\pi}{4}]$。
根据正弦函数的性质，$\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$的最大值为$1$，当且仅当$\theta + \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2k\pi$，$k\in Z$时取到。
所以$g(\theta)=\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$的最大值为$\sqrt{2}\times1=\sqrt{2}$。