题目

1.当x→∞时，sin^2(1)/(x)与(1)/(x^k)为等价无穷小，则k=

1.当x→∞时，$\sin^{2}\frac{1}{x}$与$\frac{1}{x^{k}}$为等价无穷小，则k=

题目解答

答案

当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$，根据等价无穷小性质 $\sin u \sim u$（当 $u \to 0$），有：
$\sin^2 \frac{1}{x} \sim \left(\frac{1}{x}\right)^2 = \frac{1}{x^2}$
为使 $\sin^2 \frac{1}{x}$ 与 $\frac{1}{x^k}$ 等价，需满足：
$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin^2 \frac{1}{x}}{\frac{1}{x^k}} = 1 \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^k}} = 1 \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to \infty} x^{k-2} = 1$
由极限性质，$k-2 = 0$，解得 $k = 2$。

答案： $k = 2$

解析

本题考查等价无穷小的概念及极限的计算。解题的关键在于利用等价无穷小的性质，将$\sin^{2}\frac{1}{x}$进行等价替换，然后根据等价无穷小的定义建立极限等式，进而求解$k$的值。

  1. 利用等价无穷小性质进行替换：
    • 当$x \to \infty$时，$\frac{1}{x} \to 0$。
    • 根据等价无穷小性质$\sin u \sim u$（当$u \to 0$），令$u = \frac{1}{x}$，则$\sin\frac{1}{x} \sim \frac{1}{x}$。
    • 所以$\sin^{2}\frac{1}{x} \sim (\frac{1}{x})^{2}=\frac{1}{x^{2}}$。
  2. 根据等价无穷小的定义建立极限等式：
    • 已知$\sin^{2}\frac{1}{x}$与$\frac{1}{x^{k}}$为等价无穷小，根据等价无穷小的定义，若$\alpha(x)$与$\beta(x)$为等价无穷小，则$\lim_{x \to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$（$x_0$为某一过程）。
    • 所以$\lim_{x \to \infty}\frac{\sin^{2}\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^{k}}}=1$。
    • 由步骤1可知$\sin^{2}\frac{1}{x} \sim \frac{1}{x^{2}}$，则$\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{k}}}=1$。
  3. 化简极限等式并求解$k$：
    • 根据分式除法法则$\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$，$\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{k}}}=\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^{2}}\times x^{k}=\lim_{x \to \infty}x^{k - 2}$。
    • 所以$\lim_{x \to \infty}x^{k - 2}=1$。
    • 对于幂函数$y = x^{n}$，当$n = 0$时，$\lim_{x \to \infty}x^{n}=1$，所以$k - 2 = 0$。
    • 解得$k = 2$。