题目

设lim_(x to 0) (sin 2x + xf(x))/(x^3) = 1，则lim_(x to 0) (2cos x + f(x))/(x^2) = ( ).(A) 0(B) -(2)/(3)(C) (4)/(3)(D) infty

设$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x + xf(x)}{x^3} = 1$，则$\lim_{x \to 0} \frac{2\cos x + f(x)}{x^2} = ($ $)$. (A) 0 (B) $-\frac{2}{3}$ (C) $\frac{4}{3}$ (D) $\infty$

题目解答

答案

我们来逐步分析这道题。 --- ### **题目已知条件：** $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x + x f(x)}{x^3} = 1 $$ 目标是求： $$ \lim_{x \to 0} \frac{2\cos x + f(x)}{x^2} $$ --- ## **第一步：利用已知极限** 我们从已知条件出发： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x + x f(x)}{x^3} = 1 $$ 我们想从中解出 $ f(x) $ 的信息。为此，我们先对 $ \sin 2x $ 进行泰勒展开： $$ \sin 2x = 2x - \frac{(2x)^3}{6} + o(x^3) = 2x - \frac{8x^3}{6} + o(x^3) = 2x - \frac{4x^3}{3} + o(x^3) $$ 所以： $$ \frac{\sin 2x + x f(x)}{x^3} = \frac{2x - \frac{4x^3}{3} + x f(x)}{x^3} = \frac{2x}{x^3} - \frac{4}{3} + \frac{x f(x)}{x^3} = \frac{2}{x^2} - \frac{4}{3} + \frac{f(x)}{x^2} $$ 所以整个表达式为： $$ \frac{\sin 2x + x f(x)}{x^3} = \frac{2}{x^2} - \frac{4}{3} + \frac{f(x)}{x^2} $$ 我们已知这个极限等于 1： $$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{2}{x^2} - \frac{4}{3} + \frac{f(x)}{x^2} \right) = 1 $$ 将左边合并： $$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{2 + f(x)}{x^2} - \frac{4}{3} \right) = 1 $$ 移项： $$ \lim_{x \to 0} \frac{2 + f(x)}{x^2} = 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3} $$ --- ## **第二步：求目标极限** 我们要求的是： $$ \lim_{x \to 0} \frac{2\cos x + f(x)}{x^2} $$ 注意到我们已经知道： $$ \lim_{x \to 0} \frac{2 + f(x)}{x^2} = \frac{7}{3} $$ 我们再对 $ \cos x $ 做泰勒展开： $$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2) \Rightarrow 2\cos x = 2 - x^2 + o(x^2) $$ 所以： $$ 2\cos x + f(x) = (2 + f(x)) - x^2 + o(x^2) $$ 代入原极限： $$ \frac{2\cos x + f(x)}{x^2} = \frac{(2 + f(x)) - x^2 + o(x^2)}{x^2} = \frac{2 + f(x)}{x^2} - 1 + o(1) $$ 取极限： $$ \lim_{x \to 0} \frac{2\cos x + f(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{2 + f(x)}{x^2} - 1 \right) = \frac{7}{3} - 1 = \frac{4}{3} $$ --- ## **最终答案：** $$ \boxed{\text{(C) } \frac{4}{3}} $$

解析

考查要点：本题主要考查极限的运算、泰勒展开的应用以及代数变形能力。关键在于通过已知条件确定$f(x)$的高阶无穷小性质，再代入目标极限进行化简。

解题思路：

  1. 利用已知极限：将$\sin 2x$展开为泰勒多项式，结合分式形式，分离出$f(x)$的表达式，求出$\lim_{x \to 0} \frac{2 + f(x)}{x^2}$的值。
  2. 处理目标极限：将$\cos x$展开为泰勒多项式，代入目标表达式，结合第一步的结果，通过代数变形求出最终极限。

破题关键：通过泰勒展开将三角函数转化为多项式形式，分离出$f(x)$的表达式，建立已知条件与目标极限之间的联系。

第一步：利用已知条件求$f(x)$的性质

  1. 展开$\sin 2x$：
    $\sin 2x = 2x - \frac{(2x)^3}{6} + o(x^3) = 2x - \frac{4x^3}{3} + o(x^3)$

  2. 代入已知极限：
    $\frac{\sin 2x + x f(x)}{x^3} = \frac{2x - \frac{4x^3}{3} + x f(x)}{x^3} = \frac{2}{x^2} - \frac{4}{3} + \frac{f(x)}{x^2}$

  3. 求极限：
    $\lim_{x \to 0} \left( \frac{2}{x^2} - \frac{4}{3} + \frac{f(x)}{x^2} \right) = 1 \implies \lim_{x \to 0} \frac{2 + f(x)}{x^2} = \frac{7}{3}$

第二步：求目标极限

  1. 展开$\cos x$：
    $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2) \implies 2\cos x = 2 - x^2 + o(x^2)$

  2. 代入目标表达式：
    $2\cos x + f(x) = (2 + f(x)) - x^2 + o(x^2)$

  3. 化简分式：
    $\frac{2\cos x + f(x)}{x^2} = \frac{2 + f(x)}{x^2} - 1 + o(1)$

  4. 求极限：
    $\lim_{x \to 0} \left( \frac{2 + f(x)}{x^2} - 1 \right) = \frac{7}{3} - 1 = \frac{4}{3}$