1.（20.0分）二次型经过非退化线性替换后，矩阵是合同的A. 对B. 错

本题考查二次型与矩阵合同的相关知识。解题思路是依据二次型经过非退化线性替换的定义和矩阵合同的定义来判断该命题的正确性。

设二次型$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\boldsymbol{X}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}$，其中$\boldsymbol{X}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$，$\boldsymbol{A}$是$n$阶对称矩阵。

进行非退化线性替换$\boldsymbol{X}=\boldsymbol{C}\boldsymbol{Y}$，这里$\boldsymbol{C}$是$n$阶可逆矩阵，$\boldsymbol{Y}=(y_1,y_2,\cdots,y_n)^T$。

将$\boldsymbol{X}=\boldsymbol{C}\boldsymbol{Y}$代入二次型$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$中，可得：

$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\boldsymbol{X}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=(\boldsymbol{C}\boldsymbol{Y})^T\boldsymbol{A}(\boldsymbol{C}\boldsymbol{Y})=\boldsymbol{Y}^T(\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C})\boldsymbol{Y}$

令$\boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}$，由于$\boldsymbol{A}$是对称矩阵，即$\boldsymbol{A}^T = \boldsymbol{A}$，那么$\boldsymbol{B}^T = (\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C})^T=\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}^T(\boldsymbol{C}^T)^T=\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{B}$，所以$\boldsymbol{B}$也是对称矩阵。

根据矩阵合同的定义：设$\boldsymbol{A}$，$\boldsymbol{B}$是两个$n$阶方阵，若存在可逆矩阵$\boldsymbol{C}$，使得$\boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}$，则称矩阵$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$合同。

在二次型经过非退化线性替换$\boldsymbol{X}=\boldsymbol{C}\boldsymbol{Y}$后，从$\boldsymbol{A}$得到$\boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}$，满足矩阵合同的定义，所以二次型经过非退化线性替换后，矩阵是合同的，该命题正确。