设个体域是实数集,P(x): x是有理数,G(x): x能表示成分数,那么“有理数都能表示成分数”可符号化为( ).A. forall x (P(x) arrow G(x))B. exists x (P(x) arrow G(x))C. forall x (P(x) land G(x))D. exists x (P(x) land G(x))
A. $\forall x (P(x) \rightarrow G(x))$
B. $\exists x (P(x) \rightarrow G(x))$
C. $\forall x (P(x) \land G(x))$
D. $\exists x (P(x) \land G(x))$
题目解答
答案
解析
本题考查知识点为将自然语言描述的命题转化为一阶逻辑符号化形式,解题思路是根据命题的含义,分析使用全称量词还是存在量词,以及命题中条件和结论之间的逻辑关系。
步骤一:判断使用全称量词还是存在量词
“有理数都能表示成分数”,这里强调的是所有的有理数都具有能表示成分数这个性质,所以应该使用全称量词“$\forall$”,表示对于个体域(实数集)中的任意一个$x$都要满足相应的条件。这样就可以排除选项B和选项D,因为选项B和D使用的是存在量词“$\exists$”,“$\exists$”表示存在个体域中的某个$x$满足条件,这与“都”所表达的全体性不符。
步骤二:确定逻辑关系
对于全称量词限定下的命题,“有理数都能表示成分数”可以理解为:如果一个数$x$是有理数,那么它就能表示成分数。在逻辑关系上,“如果……那么……”对应的逻辑联结词是“$\rightarrow$”。即当$P(x)$($x$是有理数)成立时,$G(x)$($x$能表示成分数)一定成立,所以应该用$P(x) \rightarrow G(x)$来表示这种逻辑关系。而选项C使用的是“$\land$”,“$\land$”表示“且”的关系,$\forall x (P(x) \land G(x))$表示对于任意的$x$,$x$既是有理数又能表示成分数,这与原命题表达的逻辑关系不一致。
综上,“有理数都能表示成分数”可符号化为$\forall x (P(x) \rightarrow G(x))$。